Bài 111419

Question

Cho hai đường thẳng $(\Delta),(\Delta')$ cắt ba mặt phẳng song song $(\alpha),(\beta),(\gamma)$ lần lượt tại $A,B,C$ và $A_{1},B_{1},C_{1}$.Với $O$ là điểm bất kì trong không gian,đặt $\overrightarrow {OI}=\overrightarrow {AA_{1}},\overrightarrow {OJ}=\overrightarrow {BB_{1}},\overrightarrow {OK}=\overrightarrow {CC_{1}}$.
Chứng minh rằng ba điểm $I,J,K$ thẳng hàng.

score 0 · Answer 1

Từ giả thiết theo định lí Ta-let,ta có $\overrightarrow {BA}=k.\overrightarrow {BC},\overrightarrow {B_{1}A_{1}}=k.\overrightarrow {B_{1}C_{1}}$
Khi đó,ta lần lượt:
*Với $\overrightarrow {BA}=k.\overrightarrow {BC}$ thì:
$\overrightarrow {OA}-\overrightarrow {OB}=k(\overrightarrow {OC}-\overrightarrow {OB})\Leftrightarrow \overrightarrow {OB}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow {OA}-k\overrightarrow {OC})$
*Với $\overrightarrow {B_{1}A_{1}}=k.\overrightarrow {B_{1}C_{1}}$ thì:
$\overrightarrow {OA_{1}}-\overrightarrow {OB_{1}}=k(\overrightarrow {OC_{1}}-\overrightarrow {OB_{1}})\Leftrightarrow \overrightarrow {OB_{1}}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow {OA_{1}}-k\overrightarrow {OC_{1}})$
Khi đó:
$\overrightarrow {BB_{1}}=\overrightarrow {OB_{1}}-\overrightarrow {OB}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow {OA_{1}}-k\overrightarrow {OC_{1}})-\frac{1}{1-k}(\overrightarrow {OA}-k\overrightarrow {OC})$
$=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow {OA_{1}}-\overrightarrow {OA})-\frac{k}{1-k}(\overrightarrow {OC_{1}}-\overrightarrow {OC})$
$=\frac{1}{1-k}\overrightarrow {AA_{1}}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow {CC_{1}}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {OJ}=\frac{1}{1-k}\overrightarrow {OI}-\frac{k}{1-k}\overrightarrow {OK}$
Nhận xét rằng trong đẳng thức trên:
$\frac{1}{1-k}+(-\frac{k}{1-k})=1 \Rightarrow I,J,K$ thẳng hàng.

Bài 111419

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111419

1 Đáp án

Liên quan

VECTO TRONG KHÔNG GIAN, SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTO

Lý thuyết liên quan