|
|
Đặt $\overrightarrow {a}=\overrightarrow {AD},\overrightarrow {b}=\overrightarrow {AB},\overrightarrow {c}=\overrightarrow {AC}$
Sử dụng công thức tích vô hướng lần lượt có:
$\overrightarrow {a}.\overrightarrow {b}=\overrightarrow {b}.\overrightarrow {c}=\overrightarrow {c}.\overrightarrow {a}=\frac{1}{2}m^{2}$
$\overrightarrow {a}^{2}=\overrightarrow {b}^{2}=\overrightarrow {c}^{2}=m^{2}$
a.Vì $M,N$ là trung điểm của $AB,CD$ nên:
$\overrightarrow {MN}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {BC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {AD}+\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b})$
$\Rightarrow MN^{2}=\overrightarrow {MN}^{2}=\frac{1}{4}(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b})^{2}=\frac{m^{2}}{2}\Leftrightarrow MN=\frac{m\sqrt{2}}{2}$
Vậy,ta được: $MN=\frac{m\sqrt{2}}{2}$
b.Ta lần lượt:
*Góc giữa $MN$ và $AB$,được xác định:
$\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {AB}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b}).\overrightarrow {b}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {a}.\overrightarrow {b}+\overrightarrow {b}.\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b}^{2})=0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {MN}\bot \overrightarrow {AB} \Leftrightarrow MN \bot AB$
Vậy,giữa $MN,AB$ bằng $90^{0}$.
*Góc giữa $MN$ và $CD$,được xác định:
$\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {MN}(\overrightarrow {AD}-\overrightarrow {AC})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b})(\overrightarrow {a}-\overrightarrow {c})=0$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {MN}\bot \overrightarrow {CD} \Leftrightarrow MN \bot CD$
Vậy,giữa $MN,CD$ bằng $90^{0}$.
*Góc giữa $MN$ và $BC$,được xác định:
$\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {MN}(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AB})=\frac{1}{2}(\overrightarrow {a}+\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b})(\overrightarrow {c}-\overrightarrow {b})=\frac{1}{2}m^{2}$
$\Rightarrow \cos (\overrightarrow {MN},\overrightarrow {BC})=\frac{\overrightarrow {MN}.\overrightarrow {BC}}{|\overrightarrow {MN}|.|\overrightarrow {BC}|}=\frac{\frac{1}{2}m^{2}}{m.\frac{m\sqrt{2}}{2}}$
$\Leftrightarrow (\overrightarrow {MN},\overrightarrow {BC})=45^{0}$
Vậy,giữa $MN,BC$ bằng $45^{0}$.
|