Bài 111508

Question

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$ cạnh $a$
$a.$ Gọi $MN$ là đoạn vuông góc chung của hai đường chéo không xuất phát từ một đỉnh của hai mặt bên kề nhau $A'B,B'C$.dựng đoạn thẳng $MN$
$b.$ Tính $MN$ theo $a$
$c.$ Xác định vị trí của điểm $M$ trên $A'B$ và điểm $N$ trên $B'C$

score 0 · Answer 1

$a.$ Mặt phẳng $(A'BD)$ là mặt phẳng chứa $A'B$ và song song với $B'C$ trên mặt phẳng $(A'BD)$
Gọi $E,F$ theo thứ tự là tâm của hình vuông $(ADD'A),(BCC'B')$
Trong mặt phẳng $(ABC'D)$ kẻ $FH\bot BE          (1)$
Ta lại có $A'D\bot (ABC'D')$
Mà $FH\subset (ABC'D')$ nên $FH\bot A'D        (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $FH\bot (A'BD)$
Mặt phẳng $\alpha $ chứa $FH,B'C$ phải vuông góc với mặt phẳng $(A'BD)$
Mặt phẳng $\alpha $ cắt $A'B$ tại điểm $M$.Qua $M$ ta dựng đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(A'BD)$ tức là đường thẳng song song với $EH$, đường thẳng này cắt $B'C$ tại $N$
$MN$ là đoạn vuông góc chung của $A'B$ và $B'C$
Ta chứng minh được $MN\bot B'C$ và $MN\bot A'B$ một cách dễ dàng.
$b.$ Vì $MN=FH$ nên ta tính $FH$
Trong tam giác vuông $EFH$ thì $FH$ là đường cao nên.
$\frac{1}{FH^2}=\frac{1}{EF^2}+\frac{1}{FB^2}   $
với $EF=a,FB=\frac{a\sqrt{2} }{2} $ ta tính được
$FH=\frac{a\sqrt{3} }{3} $
$c.$ Để xác định vị trí điểm $M$, ta xét tỉ số $\frac{BM}{BA'} $
Trong tam giác vuông $EFB,FH$ là đường cao, cho ta
$BH.BE=BF^2\Rightarrow BH=\frac{BF^2}{BE} $
Từ đây suy ra $\frac{BM}{BA'}=\frac{BF^2}{BE^2} $
Với $BF=\frac{a\sqrt{2} }{2} ,BE^2=BF^2+FB^2=a^2+(\frac{a\sqrt{2} }{2} )^2$
Ta tính được $\frac{BM}{BA'}=\frac{1}{3} $
Vậy $M$ là điểm chia trong đoạn thẳng $A'B$ theo tỉ số $k=2$.Tương tự $N$ là điểm chia trong đoạn thẳng $B'C$ theo tỉ số $k=2$

Bài 111508

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111508

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan