Bài 111659

Question

Tính các tổng hữu hạn sau:
a) $S_n=\frac{1}{4\cos^2 \frac{x}{2} }+\frac{1}{4^2\cos^2 \frac{x}{2^2} }+\frac{1}{4^3\cos^2 \frac{x}{2^3} }+...+\frac{1}{4^n\cos^2 \frac{x}{2^n} }, n\in N $.
b) $ T_n=\frac{\sin x+ \sin 2x+ \sin 3x+ ... + \sin nx}{\cos x+\cos 2x+\cos 3x+...+\cos nx}$

score 0 · Answer 1

a) $\frac{1}{\cos^2 a}+\frac{1}{\sin^2 a}=\frac{1}{\cos^2 a \sin^2 a} =\frac{4}{\sin^2 2a} \Rightarrow \frac{1}{\cos^2 a}=\frac{4}{\sin^22a}-\frac{1}{\sin^2 a}       (1) $
    Thay $a$ trong $(1)$ lần lượt $\frac{x}{2}, \frac{x}{2^2}, ..., \frac{x}{2^n}   $, ta có:
            $\frac{1}{4\cos ^2 \frac{x}{2} }=\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{4\sin^2 \frac{x}{2}} $
          $\frac{1}{4^2 \cos^2 \frac{x}{2^2} }=\frac{1}{4\sin^2 \frac{x}{2}}-\frac{1}{4^2 \sin^2 \frac{x}{2^2} }   $
            $....................................$
            $\frac{1}{4^n \cos^2 \frac{x}{2^n} }=\frac{1}{4^ {n-1}\sin^2 \frac{x}{2^{n-1}} }-\frac{1}{4^n\sin^2 \frac{x}{2^n} }   $
      Suy ra:   $S_n=\frac{1}{\sin^2 x}-\frac{1}{4^n \sin^2 \frac{x}{2^n} } $
b)   $T_n=\frac{A_n}{B_n} $
* Tính       $A_n=\sin x+\sin 2x+ \sin 3x+ ... +\sin nx $
     Ta có:    $A_n\sin \frac{x}{2}=\sin x. \sin \frac{x}{2}+\sin 2x. \sin \frac{x}{2}+...+ \sin nx. \sin \frac{x}{2}$
Mặt khác: $\sin x. \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2} (\cos \frac{x}{2}-\cos \frac{3x}{2}) $
               $\sin 2x. \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2}(\cos \frac{3x}{2} -\cos \frac{5x}{2} ) $
                   $.................$
                 $\sin nx. \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2} (\cos \frac{2n-1}{2}x-\cos \frac{2n+1}{2} x )$
Suy ra: $A_n. \sin \frac{x}{2}=\frac{1}{2} (\cos \frac{x}{2} -\cos \frac{(2n+1)}{2}x) =\sin \frac{nx}{2}.\sin \frac{(n+1)x}{2}   $
Vậy:     $A_n=\frac{\sin \frac{nx}{2}\sin \frac{(n+1)x}{2} }{\sin \frac{x}{2} } $ nếu $x=k2\pi \Rightarrow A_n=0 $

* Tính $B_n=\cos x + \cos 2x +\cos 3x+...+\cos nx$
Làm tương tự như câu a) ( Nhân $\sin \frac{x}{2}$ với $B_n$ ). Ta được:
           $B_n=\frac{\cos \frac{nx}{2}\cos \frac{(n+1)x}{2} }{\sin \frac{x}{2} } $ với $x\neq k2\pi$
Vậy     $T_n=\tan \frac{nx}{2}. \tan \frac{(n+1)x}{2}, x\neq k2\pi $. Đặc biệt $x=k2\pi$ thì $T_n=0$

Bài 111659

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111659

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan