a) Ta có: $\overrightarrow {AB}(-1;1;0), \overrightarrow {AC}(-1;0;1), \overrightarrow {AD}(-3;1;-2)$, từ đó suy ra:
$[\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}].\overrightarrow {AD}=-4 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}$ và $\overrightarrow {AD}$ không đồng phẳng.
Vậy, bốn điểm $A,B,C,D$ là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b) Trước tiên ta tính được $\overrightarrow {CD}(-2;1;-3), \overrightarrow {BD}(-2;0;-2), \overrightarrow {BC}(0;-1;1)$
Ta lần lượt có góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện:
$\cos (\overrightarrow {AB},\overrightarrow {CD})=\frac{\overrightarrow {AB}.\overrightarrow {CD}}{|\overrightarrow {AB}|.|\overrightarrow {CD}|}=\frac{3}{2\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{7}}{14}$
$\Rightarrow \cos (AB,CD)=\frac{3\sqrt{7}}{14}$
$\cos (\overrightarrow {AC},\overrightarrow {BD})=\frac{\overrightarrow {AC}.\overrightarrow {BD}}{|\overrightarrow {AC}|.|\overrightarrow {BD}|}=0 \Rightarrow \cos (AC,BD)=0$
$\Leftrightarrow (AC,BD)= 90^{0} \Leftrightarrow AC \bot BD$
$\cos (\overrightarrow {AD},\overrightarrow {BC})=\frac{\overrightarrow {AD}.\overrightarrow {BC}}{|\overrightarrow {AD}|.|\overrightarrow {BC}|}=-\frac{3}{2\sqrt{7}}=-\frac{3\sqrt{7}}{14}$
$\Rightarrow \cos (AB,CD)=\frac{3\sqrt{7}}{14}$
c)Thể tích tứ diện $ABCD$ được cho bởi:
$V_{ABCD}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow {AB},\overrightarrow {AC}].\overrightarrow {AD}|=\frac{1}{6}|-4|=\frac{2}{3}$
Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh $A$ được cho bởi:
$V_{ABCD}=\frac{1}{3}h_{A}.S_{\Delta BCD} \Leftrightarrow h_{A}=\frac{3V_{ABCD}}{S_{\Delta BCD} }=\frac{3V_{ABCD}}{\frac{1}{2}[\overrightarrow {BD},\overrightarrow {BC}]}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$