a) Ta có: →AB(−1;1;0),→AC(−1;0;1),→AD(−3;1;−2), từ đó suy ra:
[→AB,→AC].→AD=−4⇔→AB,→AC và →AD không đồng phẳng.
Vậy, bốn điểm A,B,C,D là bốn đỉnh của một hình tứ diện.
b) Trước tiên ta tính được →CD(−2;1;−3),→BD(−2;0;−2),→BC(0;−1;1)
Ta lần lượt có góc tạo bởi các cạnh đối của tứ diện:
cos(→AB,→CD)=→AB.→CD|→AB|.|→CD|=32√7=3√714
⇒cos(AB,CD)=3√714
cos(→AC,→BD)=→AC.→BD|→AC|.|→BD|=0⇒cos(AC,BD)=0
⇔(AC,BD)=900⇔AC⊥BD
cos(→AD,→BC)=→AD.→BC|→AD|.|→BC|=−32√7=−3√714
⇒cos(AB,CD)=3√714
c)Thể tích tứ diện ABCD được cho bởi:
VABCD=16|[→AB,→AC].→AD|=16|−4|=23
Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ đỉnh A được cho bởi:
VABCD=13hA.SΔBCD⇔hA=3VABCDSΔBCD=3VABCD12[→BD,→BC]=2√33