Ta có:
Giả sử $A$ là điểm nằm trên đường thẳng $(a)$ và khác điểm $I$ và:
$F(A)=A' \Rightarrow A' \neq A$
và vì $F(a)=a$ nên $A'\in (a)$
Ngoài ra vì $IA=IA'$ nên $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AA'$.
Gọi $(b)$ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(\alpha)$, đi qua $I$ và vuông góc với $(a)$. Ta có:
$F(\alpha)=\alpha \Rightarrow F(b) \subset \alpha $
ngoài $f(b)$ đi qua $F(I)=I$ và vuông góc với $F(a)=a$ nên $F(b)=b$.
Lập luận tương tự như phần trên, suy ra nếu $B$ nằm trên $(b)$ và khác $I$ thì:
$F(B)=B'$ sao cho $I$ là trung điểm $BB'$.
Gọi $c$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(\alpha)$ tại $I$. Ta có:
$F(c)=c \Rightarrow F(C)=C'$ với $C \in (c)$ và $C \neq I$ thì $I$ là trung điểm của $CC'$.
Bây giờ giả sử $M$ là một điểm bất kỳ trong không gian. Gọi $A,B,C$ lần lượt là hình chiếu của $M$ trên đường thẳng $(a), (b), (c)$. Nói cách khác $IM$ là đường chéo của hình hộp chữ nhật có ba cạnh là $IA,IB,IC$.
Khi đó, gọi $A',B',C'$ lần lượt là các điểm đối xứng của $A,B,C$ qua điểm $I$ thì theo như trên, ta có:
$A'=F(A), B'=F(B), C'=F(C)$
Nếu gọi $M'$ là điểm sao cho hình hộp có ba cạnh $IA',IB',IC'$ nhận $IM'$ làm đường chéo thì hiển nhiên $F$ biến $M$ thành $M'$ và $I$ là trung điểm của $MM'$.