Bài 112064

Question

Cho $f$ liên tục trên $[a;b],g $ đơn điệu và có đạo hàm liên tục trên $[a;b]$.
Chứng minh rằng :
a) Tồn tại $ c \in [a;b]$ sao cho $ f(c) = \frac{1}{b-a} \int\limits_{a}^{b}f(x)dx$ ( gọi là định lí về giá trị trung bình của tích phân)
b) Tồn tại $ d \in [a;b]$ sao cho: $\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx = g(a) \int\limits_{a}^{d}f(x)dx + g(b) \int\limits_{d}^{b}f(x)dx.$
c) Nếu $ b > a > \frac{4}{\epsilon } >0 $ thì $|\int\limits_{a}^{b} \frac{\sin x}{x}dx|< \epsilon $

score 0 · Answer 1

Ta có $f$ liên tục trên $[a;b]$ nên tồn tại $x_1,x_2 \in [a;b]$ sao cho :
         $f(x_1) = \min_{a \leq x \leq b} f(x), f(x_2) = \max_{a \leq x \leq b}f(x)$
Xét $g(x) = f(x) - \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(y)dx, x \in [a;b]$
Theo định nghĩa trên thì $ f(x_1) \leq f(y) \leq f(x_2) , \forall y \in [a;b]$
$\Rightarrow \int\limits_{a}^{b} f(x_1)dy \leq \int\limits_{a}^{b} f(y)dy \leq \int\limits_{a}^{b} f(x_2)dy$
$\Rightarrow f(x_1) \leq \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(y)dy \leq f(x_2)$
$\Rightarrow g(x_1).g(x_2) = [ f(x_1) - \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(y)dy][f(x_2) - \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b} f(y)dy]\leq 0$
$\Rightarrow $ Tồn tại $ c \in [a;b] $ sao cho $g(c) = 0 \Leftrightarrow f(c) = \frac{1}{b-a}\int\limits_{a}^{b}f(x)dx.$

b) Gọi F là nguyên hàm của $f$ trên $[a;b]$. Khi đó :
$\int\limits_{a}^{b} f(x)g(x)dx = \int\limits_{a}^{b} F'(x)g(x)dx = (F(x)g(x))|^b_a - \int\limits_{a}^{b} F(x)g'(x)dx $                 (1)
Chứng minh tương tự như câu a) ta luôn tìm được $ d \in [a;b] $ sao cho :
$\int\limits_{a}^{b} F(x)g(x)dx = F(d) \int\limits_{a}^{b} g'(x)dx = F(d)[g(b)-g(a)]$                   (2)
Thay (2) vào (1) , ta có :
$\int\limits_{a}^{b} f(x)g'(x)dx = F(d)\int\limits_{a}^{b} g'(x)dx = F(d)[g(b)-g(a)]$
                                       $ = g(a)[F(d) -F(a)] + g(b)[F(b)-F(d)]$
                                       $ = g(a) \int\limits_{a}^{d}f(x)dx + g(b) \int\limits_{d}^{b}f(x)dx.$

c) Áp dụng câu a) với $\begin{cases}f(x) = \sin x \\ g(x)=\frac{1}{x} \end{cases}          (x \in [a;b])$
Theo kết quả câu b) ta luôn tìm được$c \in [a;b]$ sao cho :
$\int\limits_{a}^{b} \frac{\sin x }{x}dx = \frac{1}{a}\int\limits_{a}^{c}\sin xdx + \frac{1}{b}\int\limits_{c}^{b} \sin xdx = \frac{1}{a}( \cos a - \cos c) + \frac{1}{b}(\cos c - \cos b)$
$\Rightarrow | \int\limits_{a}^{b} \frac{\sin x}{x}dx| \leq 2 ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}) < \frac{4}{\epsilon } < \epsilon $

Bài 112064

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 112064

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan