Bài 112108

Question

Cho đường thẳng

$d$ vuông góc với mặt phẳng

$(P)$ tại

$O$ . Gọi

$D_O$ là phép đối xứng qua

$O$ ,

$D_d$ là phép đối xứng qua đường thẳng

$d, D_P$ là phép đối xứng qua mặt phẳng

$(P)$ . Chứng minh rằng
a)

$D_O o D_P=D_P o D_O=D_d$
b)

$D_d o D_P=D_P o D_d=D_O$
c)

$D_O o D_d=D_d o D_O=D_P$

score 0 · Answer 1

a) Lấy điểm

$M$ bất kì, điểm

$M_1$ đối xứng với

$M$ qua

$(P)$ và điểm

$M'$ đối xứng với

$M_1$ qua

$O$ thì phép hợp thành

$D_O o D_P$ , biến

$M$ thành

$M'$ .
Gọi

$I,K$ lần lượt là trung điểm của

$MM_1$ và

$MM'$ ( điểm

$I$ nằm trên

$(P)$ ) thì

$\overrightarrow {OK}=\overrightarrow {OM'}+\overrightarrow {M'K}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {M_1M'}+\overrightarrow {M'M})=\frac{1}{2}\overrightarrow {M_1M}$
Vì

$\overrightarrow {M_1M}$ vuông góc với

$(P)$ nên

$\overrightarrow {OK}$ cũng vuông góc với

$(P)$ , do đó

$K \in d$ .
Mặt khác, ta có:

$\overrightarrow {OI}=\overrightarrow {OM_1}+\overrightarrow {M_1I}=\frac{1}{2}(\overrightarrow {M'M_1}+\overrightarrow {M_1M})=\frac{1}{2}\overrightarrow {M'M}$
Vì

$\overrightarrow {OI}$ vuông góc với

$d$ nên

$\overrightarrow {M'M}$ cũng vuông góc với

$d$ .
Tóm lại

$d$ là trung trực của đoạn thẳng

$M'M$ , tức là

$D_O o D_P=D_d$
Chứng minh tương tự

$D_P o D_O=D_d$
b) Từ

$D_O o D_P=D_d$ , ta suy ra