a) Lấy hai đường thẳng cắt nhau $b,c$ thuộc $(P)$, gọi $b',c'$ là ảnh của chúng qua $F$, ta có:
$a \bot (P) \Rightarrow \begin{cases} a \bot b \\ a \bot c \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a' \bot b' \subset (P') \\ a' \bot c' \subset (P')\end{cases} \Rightarrow a' \bot (P')$, đpcm
b) Lấy đường thẳng $b$ thuộc $(P)$ sao cho $a//b$, gọi $b'$ là ảnh của nó qua $F$, ta có:
$a'//b' \subset (P') \Rightarrow a'//(P')$
Với điểm $A$ thuộc $a$, hạ $AH$ vuông góc với $(P)$. Gọi $A',H'$ là ảnh của chúng qua $F$, ta có:
$\begin{cases} AH=A'H' \\ A'H' \bot (P')\end{cases} \Rightarrow d(a,(P))=AH=A'H'=d(a',(P'))$
c) Giả sử : $(a)$ cắt $(P)$ tại K và K’ là ảnh của
K qua F
Do $ K\in (a)$ và
$K\in(P)\Rightarrow\begin{cases} K\in(a’)\\ K\in(P’)\end{cases}\Rightarrow (a’)$
cắt $(P’)$ tại K’
Gọi $b$ là hình chiếu vuông góc của $a$ lên $(P)$ và $b'$ là ảnh của nó qua $F$, ta có:
$\begin{cases} b' là hcvg của a' lên (P') \\ g(a,b)=g(a',b') \end{cases} \Rightarrow $g(a,(P))=g(a,b)=g(a',b')=g(a',(P'))