Đề thi tuyển sinh Đại học năm 2013 - Môn Toán, khối B

Question

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
MÔN: TOÁN - KHỐI B

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số $y=2x^3-3(m+1)x^2+6mx     (1)$, với $m$ là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi $m=-1$.
b) Tìm $m$ để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị $A$ và $B$ sao cho đường thẳng $AB$ vuông góc với đường thẳng $y=x+2$.

Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình:    $\sin 5x + 2\cos^2x=1$

Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương tình $\begin{cases}2x^2+y^2-3xy+3x-2y+1=0 \\ 4x^2-y^2+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}   \end{cases}   (x,y \in R)$

Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân $I=\int\limits_{0}^{1} x\sqrt{2-x^2}dx $

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp $S. ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, mặt bên $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đấy. Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SCD)$.

Câu 6 (1,0 điểm). Cho $a,b,c$ là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=\frac{4}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4} } -\frac{9}{(a+b)\sqrt{(a+2c)(b+2c)} } $.

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình thang cân $ABCD$ có hai đường chéo vuông góc với nhau và $AD=3BC$. Đường thẳng $BD$ có phương trình $x+2y-6=0$ và tam giác $ABD$ có trực tâm $H(-3;2)$. Tìm tọa độ các đỉnh $C$ và $D$.

Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A(3;5;0)$ và mặt phẳng $P: 2x+3y-z-7=0$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $(P)$. Tìm tọa độ điểm đối xứng của $A$ qua $(P)$.

Câu 9.a (1,0 điểm). Có hai chiếc hộp chứa bi. Hộp thứ nhất chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng, hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bị trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.

B. Theo chương trình nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$ có chân đường cao hạ từ đỉnh $A$ là $H(\frac{17}{5};\frac{1}{5} )$. Chân đường phân giác trong của góc $A$ là $D(5;3)$ và trung điểm của cạnh $AB$ là $M(0;1)$. Tìm tọa độ đỉnh C.

Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A(1;-1;1), B(-1;2;3)$ và đường thẳng $\Delta : \frac{x+1}{-2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-3}{3}$. Viết phương trình đường thẳng đi qua $A,$ vuông góc với hai đường thẳng $AB$ là $\Delta $.

Câu 9.b (1 điểm). giải hệ phương trình $\begin{cases}x^2+2y=4x-1 \\ 2 \log_3(x-1)-\log_{\sqrt{3} }(y+1)=0 \end{cases} $