Bài 100347

Question

$AB$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng

$x, y$ chéo nhau,

$A$ thuộc

$x, B$ thuộc y. Đặt độ dài

$AB = d$ .

$M$ là một điểm thay đổi thuộc

$x, N$ là một điểm thay đổi thuộc

$y$ . Đặt

$AM = m, BN$ = n

$(m \ge 0,n \ge 0)$ . Giả sử ta luôn có

${m^2} + {n^2} = k > 0$ ,

$k$ không đổi.

$1.$ Xác định

$m, n$ để độ dài đoạn thẳng

$MN$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

$2.$ Trong trường hợp hai đường thẳng

$x, y$ vuông góc với nhau và

$mn \ne 0$ , hãy xác định

$m, n$ ( theo

$k$ và

$d$ ) để thể tích tứ diện

$ABMN$ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/23/2012 3:34:13 PM

$1$ . Kí hiệu

$\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng

$x, y$ đã cho. Do giả thiết

$x, y$ chéo nhau

$\Rightarrow 0 < \varphi \le \frac{\pi }{2}$

* Tính

$MN:$

- Nếu

$m = 0$ thì

$M \equiv A$ và

$k = {m^2} + {n^2} = {n^2}$

$\Rightarrow M{N^2} = A{N^2} = A{B^2} + B{D^2} = {d^2} + {n^2} = {d^2} + k$
Tương tự, nếu

$n = 0$ thì

$M{N^2} = {d^2} + k$

- Nếu

$m, n > 0$ thì

$M{N^2} = \overrightarrow {M{N^2}} = {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {AM} } \right)^2}$

$= {d^2} + {n^2} + {m^2} - 2\overrightarrow {BN.} \overrightarrow {AM} = {d^2} + k - 2mn\cos \left( {\overrightarrow {AM,} \overrightarrow {BN} } \right)$

$\Rightarrow$

$M{N^2} = \left\{ \begin{array}{l} {d^2} + k khi m.n=0\\ {d^2} + k - 2mn\cos \varphi khi m.n>0 và \left( {\overrightarrow {AM,} {\rm{ }}\overrightarrow {BN} } \right) = \varphi \\ {d^2} + k + 2mn\cos \varphi khi m.n>0 và \left( {\overrightarrow {AM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BN} } \right) = \pi - \varphi \end{array} \right.$

* Giá trị lớn nhất, bé nhất của

$MN.$

- Nếu

$\varphi = \frac{\pi }{2}$ thì

$c{\rm{os}}\varphi = 0 \Rightarrow M{N^2} = {d^2} + k {\rm{ }}\forall m,n {\rm{ sao cho }}{{\rm{m}}^2} + {n^2} = k$

$\Rightarrow \max MN = \min MN = \sqrt {{d^2} + k {\rm{ }}}$ đạt được với mọi

$m, n$ thỏa mãn điều kiện

${m^2} + {n^2} = k$

- Nếu

$0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$ thì

$c{\rm{os}}\varphi > 0, 2mn \le {m^2} + {n^2} = k$
(đẳng thức xảy ra khi

$m = n = \sqrt {\frac{k}{2}} )$ nên

${d^2} + k - k\cos \varphi \le {d^2} + k - 2mn\cos \varphi < {d^2} + k$

$< {d^2} + k + 2mn\cos \varphi \le {d^2} + k + k\cos \varphi$
Nên:

$\max MN = \sqrt {{d^2} + k + k\cos \varphi }$ đạt được khi

$m = n = \sqrt {\frac{k}{2}} {\rm{ }} và \left( {\overrightarrow {AM,} {\rm{ }}\overrightarrow {BN} } \right) = \pi - \varphi$

$\min MN = \sqrt {{d^2} + k - k\cos \varphi }$ đạt được khi

$m = n = \sqrt {\frac{k}{2}} và \left( {\overrightarrow {AM,} {\rm{ }}\overrightarrow {BN} } \right) = \varphi$

$2$ . Do

$x \bot y$ và AB là đường vuông góc chung của

$x, y$ nên

$AM \bot \left( {ABN} \right)$ và

$\Delta ABN$ vuông ở

$B$

$\Rightarrow {V_{ABMN}} = \frac{1}{3}AM.S_{ABN} = \frac{1}{3}AM.\frac{1}{2}AB.BN = \frac{1}{6}.m.n.d \le \frac{1}{6}\left( {\frac{{{m^2} + {n^2}}}{2}} \right).d = \frac{{kd}}{{12}}$
Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow m = m = \sqrt {\frac{k}{2}} Vậy \max {V_{ABMN}} = \frac{{kd}}{{12}}$ đạt được khi

$\Leftrightarrow m=n=\sqrt{\frac{k}{2}}$