Bài 100347

Question

$AB$ là đường vuông góc chung của hai đường thẳng $x, y$ chéo nhau, $A$ thuộc $x, B$ thuộc y. Đặt độ dài $AB = d$. $M$ là một điểm thay đổi thuộc $x, N$ là một điểm thay đổi thuộc $y$. Đặt $AM = m, BN $= n$(m \ge 0,n \ge 0)$. Giả sử ta luôn có ${m^2} + {n^2} = k > 0$, $k$ không đổi.
$1.$ Xác định $m, n$ để độ dài đoạn thẳng $MN$ đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
$2. $Trong trường hợp hai đường thẳng $x, y$ vuông góc với nhau và $mn \ne 0$, hãy xác định $m, n $ ( theo $k$ và $d$) để thể tích tứ diện $ABMN$ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị đó.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/23/2012 3:34:13 PM

$1$. Kí hiệu $\varphi$ là góc giữa hai đường thẳng $x, y$ đã cho. Do giả thiết $ x, y $ chéo nhau $\Rightarrow 0 < \varphi \le \frac{\pi }{2}$

* Tính $MN:$

- Nếu $m = 0$ thì $M \equiv A$ và $k = {m^2} + {n^2} = {n^2}$$ \Rightarrow M{N^2} = A{N^2} = A{B^2} + B{D^2} = {d^2} + {n^2} = {d^2} + k$
Tương tự, nếu $n = 0$ thì $M{N^2} = {d^2} + k$

- Nếu $m, n > 0$ thì
$M{N^2} = \overrightarrow {M{N^2}} = {\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {AM} } \right)^2}$
           $ = {d^2} + {n^2} + {m^2} - 2\overrightarrow {BN.} \overrightarrow {AM} = {d^2} + k - 2mn\cos \left( {\overrightarrow {AM,} \overrightarrow {BN} } \right)$
$\Rightarrow $$M{N^2} = \left\{ \begin{array}{l}
{d^2} + k     khi    m.n=0\\
{d^2} + k - 2mn\cos \varphi    khi    m.n>0 và \left( {\overrightarrow {AM,} {\rm{ }}\overrightarrow {BN} } \right) = \varphi \\
{d^2} + k + 2mn\cos \varphi khi    m.n>0 và \left( {\overrightarrow {AM} ,{\rm{ }}\overrightarrow {BN} } \right) = \pi - \varphi
\end{array} \right.$

* Giá trị lớn nhất, bé nhất của $MN.$

- Nếu $\varphi = \frac{\pi }{2}$ thì $c{\rm{os}}\varphi = 0 \Rightarrow M{N^2} = {d^2} + k {\rm{ }}\forall m,n {\rm{ sao cho   }}{{\rm{m}}^2} + {n^2} = k$
$ \Rightarrow \max MN = \min MN = \sqrt {{d^2} + k {\rm{ }}}$ đạt được với mọi $m, n$ thỏa mãn điều kiện ${m^2} + {n^2} = k$

- Nếu $0 < \varphi < \frac{\pi }{2}$ thì $c{\rm{os}}\varphi > 0,   2mn \le {m^2} + {n^2} = k$
(đẳng thức xảy ra khi $m = n = \sqrt {\frac{k}{2}} )$ nên
${d^2} + k - k\cos \varphi \le {d^2} + k - 2mn\cos \varphi < {d^2} + k $
                              $< {d^2} + k + 2mn\cos \varphi \le {d^2} + k + k\cos \varphi   $
Nên:
$\max MN = \sqrt {{d^2} + k + k\cos \varphi }$ đạt được khi $m = n = \sqrt {\frac{k}{2}} {\rm{ }} và \left( {\overrightarrow {AM,} {\rm{ }}\overrightarrow {BN} } \right) = \pi - \varphi $
$\min MN = \sqrt {{d^2} + k - k\cos \varphi }$ đạt được khi $m = n = \sqrt {\frac{k}{2}} và \left( {\overrightarrow {AM,} {\rm{ }}\overrightarrow {BN} } \right) = \varphi $

$2$. Do $x \bot y$ và AB là đường vuông góc chung của $x, y$ nên $AM \bot \left( {ABN} \right)$ và $\Delta ABN$ vuông ở $B$ $ \Rightarrow {V_{ABMN}} = \frac{1}{3}AM.S_{ABN} = \frac{1}{3}AM.\frac{1}{2}AB.BN = \frac{1}{6}.m.n.d \le \frac{1}{6}\left( {\frac{{{m^2} + {n^2}}}{2}} \right).d = \frac{{kd}}{{12}}$
Đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow m = m = \sqrt {\frac{k}{2}}
Vậy \max {V_{ABMN}} = \frac{{kd}}{{12}}$ đạt được khi $\Leftrightarrow m=n=\sqrt{\frac{k}{2}}$

Bài 100347

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 100347

1 Đáp án

Liên quan

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Lý thuyết liên quan