|
|
Phương trình đã cho tương đương với :
$2(tanx + 1 – sinx) + 3(cotx + 1 – cosx) = 0$
$ \begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\left( {\frac{{\sin x}}{{cosx}} + 1 - \sin x} \right) + \left( {\frac{{cosx}}{{\sin x}} + 1 - cosx} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \frac{{2\left( {\sin x + cosx - cosx.\sin x} \right)}}{{cosx}} + \frac{{3\left( {\sin x + cosx - cosx.\sin x} \right)}}{{\sin x}} = 0
\end{array} $
$ \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{{cosx}} + \frac{3}{{\sin x}}} \right)\left( {cosx + \sin x - cosx.\sin x} \right) = 0 $
Xét $ \frac{2}{{cosx}} + \frac{3}{{\sin x}} = 0 \Leftrightarrow \tan x = \frac{{ - 3}}{2} \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi \,\,\,(\tan \alpha = \frac{{ - 3}}{2}) $
Xét : $ {\rm{sinx }} + {\rm{ cosx }}-{\rm{ sinxcosx }} = {\rm{ }}0 $ . Đặt $ {\rm{t }} = {\rm{ sinx }} + {\rm{ cosx}} $ , với $ t \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right] $ .
Khi đó phương trình trở thành: $ t - \frac{{{t^2} - 1}}{2} = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1 - \sqrt 2 $ (loại nghiệm kia)
Suy ra:
$ \sqrt 2 cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = 1 - \sqrt 2 \Leftrightarrow cos\left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} $
$\Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} \pm \beta + k2\pi ,\,\,k \in Z,\,\,cos\beta = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}. $
Vậy nghiệm cần tìm là: $ \left[ \begin{array}{l}
x = \alpha + k\pi \,\,\,(\tan \alpha = \frac{{ - 3}}{2})\\
x = \frac{\pi }{4} \pm \beta + k2\pi \,\,(cos\beta = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }})
\end{array} \right.\,\,(\,k \in Z) $
|