Bài 102003

Question

Cho hệ phương trình: \(\begin{cases}x+y=m \\ (x+1)y^2+xy=m(y+2)\end{cases}\)
a) Giải hệ phương trình trên khi \(m=4\)
b) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để hệ đã cho có nhiều hơn hai nghiệm.

score 0 · Answer 1

Giải
a) Khi \(m=14\) ta có hệ phương trình:
   \(\begin{cases}x+y=4 \\(x+1)y^2=+xy=4(y+2) \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x=4-y \\ y^3-4y^2+8=0 \end{cases}\)
       \(\Leftrightarrow \begin{cases}x=4-y \\ \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y = 1\pm \sqrt{5}\end{array} \right. \end{cases}\)
Vậy hệ đã cho có ba nghiệm: \((x;y)=(2;2), (3-\sqrt{5};1+\sqrt{5}), (3+\sqrt{5};1-\sqrt{5})\) .

b) Trong trường hợp tổng quát, hệ đã cho tương đương:
    \(\begin{cases}x=m-y \\ y^3-my^2+2m=0 (*) \end{cases}\)
Để hệ đã cho có hơn hai nghiệm thì (*) phải có ba nghiệm hay \(f(y)=y^3-my^2+2m=0\) phải có ba nghiệm phân biệt.
    \(\Leftrightarrow \begin{cases}f'(y)=0   \\ f(y_1).f(y_2)<0 \end{cases}\) có hai nghiệm \(y_1\neq y_2\)
   \(\Leftrightarrow \begin{cases}m\neq 0 \\ f(0).f(\frac{2m}{3}<0 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}m\neq 0 \\ 2m(-\frac{4m^3}{27}+2m)<0 \end{cases} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > \sqrt{\frac{27}{2}}\\m< - \sqrt{\frac{27}{2}}\end{array} \right.\)
Vậy hệ đã cho có hơn hai nghiệm khi và chỉ khi:\(\left[ \begin{array}{l}m > \sqrt{\frac{27}{2}}\\m< - \sqrt{\frac{27}{2}}\end{array} \right.\).

Bài 102003

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102003

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan