Bài 102006

Question

Cho hệ phương trình: $\begin{cases}x+ay-a=0 \\ x^2+y^2-x=0 \end{cases}$
a) Tìm tất cả các giá trị của $a$ để hệ phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi $(x_1;y_1), (x_2;y_2)$ là các nghiệm của hệ phương trình đã cho, hãy chứng minh: $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\leq 1$.

score 0 · Answer 1

Giải
a) $\begin{cases}x+ax-a=0 (1) \\ x^2+y^2=0        (2) \end{cases}$. Từ phương trình $(1)$ ta có: $x=a-ay$
Thế vào phương trình $(2)$ ta được:
      $ (a-ay)^2+y^2-(a-ay)=0$
$\Leftrightarrow a^2-2a^2y+a^2y^2+y^2-a+ay=0$
$\Leftrightarrow (a^2+1)y^2-a(2a-1)y+a(a-1)=0    (*)$
     Nhận thấy hệ đã cho có hai nghiệm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt hay: $\Delta>0$
      $\Leftrightarrow [a.(a-1)^2-4a(a-1)(a^2+1)]>0$
      $ \Leftrightarrow a^2(a-1)^2-4a(a-1)(a^2+1)>0$
      $\Leftrightarrow a(a-1)[a(a-1)-4(a^2+1)]>0$
      $ \Leftrightarrow a(4a-3)>0\Leftrightarrow 0<a<\frac{4}{3}$.

b) Do $x=a-ay$ và $(x_1;y_1), (x_2;y_2)$ là hai nghiệm của hệ phương trình nên:
         $x_1=a-ay_1, x_2=a-ay_2$
nên: $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2=(a-ay_2-a+ay_1)+(y_2-y_1)^2$
     $= (ay_1-ay_2)^2+(y_2-y_1)^2=a^2(y_1-y_2)^2+(y_2-y_1)^2$
     $= (y_2-y_1)^2(a^2+1)=(a^2+1)[(y_2+y_1)^2-4y_1y_2]$
    $= [(\frac{a(2a-1)}{a^2+1})-\frac{4a(a-1)}{a^2+1}]=\frac{a(4-3a)}{a^2+1}$ (theo định lí Viete cho (*) thì $\left\{ \begin{array}{l} y_1+y_2=\frac{2a-1}{a^2+1}\\ y_1y_2=\frac{a(a-1)}{a^2+1} \end{array} \right.$)
$\Rightarrow (x_1-x_2)^2+(y_2-y_1)^2-1=\frac{a(4-3a)}{a^2+1}-1=\frac{-(2a-1)^2}{a^2+1}\leq 0$
$\Rightarrow (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\leq 1$. Dấu $"="$ xảy ra $\Leftrightarrow a=\frac{1}{2}$.

Bài 102006

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102006

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan