Bài 102174

Question

Giải và biện luận các hệ phương trình:
a/

$\begin{cases}\left ( m+2 \right )x+3y= 9+3m\\ x+\left ( m+4 \right )y= 2\end{cases}$
b/

$\begin{cases}\left ( a+b \right )x+\left ( a-b \right )y=2a \\\left ( a^{2}+b^{2} \right )x+\left ( a^{2}-b^{2} \right ) y= 2a^{2}\end{cases}$
c/

$\begin{cases}\left ( a+b \right )x+\left ( a-b \right )y=2 \\ \left ( a^{3}+b^{3} \right )x+\left ( a^{3}-b^{3} \right )y=2\left ( a^{2}+b^{2} \right ) \end{cases}$

score 0 · Answer 1

a/

$\begin{cases}\left ( m+2 \right )x+3y= 9+3m\\ x+\left ( m+4 \right )y= 2\end{cases}$

$D=\left ( m+2 \right )\left ( m+4 \right )-3=m^{2}+6m+5=\left ( m+1 \right )\left ( m+5 \right )$

$D_{x}=\left ( 3m+9 \right )\left ( m+4 \right )-6=3m^{2}+21m+30=3\left ( m+2 \right )\left ( m+5 \right )$

$D_{y}=2\left ( m+2 \right )-9-3m=-\left ( m+5 \right )$
Để hệ có nghiệm thì

$m\neq -1$ và

$m\neq -5 \begin{cases}x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{3\left ( m+2 \right )}{\left ( m+1 \right )} \\ y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{-1}{ m+1 }\end{cases}$
Nếu

$m=-1$ ta có hệ:

$\begin{cases}x+3y=6 \\ x+3y=2 \end{cases}$ hệ vô nghiệm.
Nếu

$m=-5$ ta cso hệ:

$\begin{cases}-3x+3y= -6\\ x-y=2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}x-y= 2\\ x-y=2 \end{cases}$ hệ có vô số nghiệm.

b/

$\begin{cases}\left ( a+b \right )x+\left ( a-b \right )y=2a \\\left ( a-b \right )x+\left ( a^{2}-b^{2} \right ) y= 2a^{2}\end{cases}$

$D=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-b^{2}\right) -\left ( a-b \right )\left ( a-b \right )=2ab\left ( a-b \right )$

$D_{x}=2a\left ( a^{2}-b^{2}\right)-2a^{2}\left ( a-b \right )=2ab\left ( a-b \right )$

$D_{y}=2a^{2} \left ( a+b\right)-2a\left ( a^{2}+b^{2}\right )=2ab\left ( a-b \right )$
Nếu

$a\neq 0, b\neq 0$ , hệ có nghiệm:

$x=1, y=1$
Nếu

$a=0, b\neq 0$ , có hệ:

$\begin{cases}bx-by=0 \\ b^{2}x-b^{2}y= 0\end{cases}$ hệ có vô số nghiệm
Nếu

$a \neq 0, b=0$ , có hệ:

$\begin{cases}ax+ay=2a \\ a^{2}x+a^{2}y= 2a^{2} \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x+y=2 \\ x+y= 2\end{cases}$ Hệ vô số nghiệm
Nếu

$a=b=0$ hệ vô số nghiệm
c/

$\begin{cases}\left ( a+b \right )x+\left ( a-b \right )y=2 \\\left ( a^{3}+b^{3} \right )x+\left ( a^{3}-b^{3} \right ) y= 2\left ( a^{2}+b^{2} \right )\end{cases}$