Bài 102462

Question

Cho tam giác $ABC$ có $AM$ là trung tuyến. Gọi ${r_1},{r_2},{R_1},{R_2}$ tương ứng là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác $ABM,ACM$. CMR $ABC$ là tam giác cân nếu thỏa mãn một trong hai điều kiện :
$1/$ $\frac{1}{{{r_1}}} + \frac{1}{{{r_2}}} - \frac{2}{r} = \frac{4}{a}$
$ 2/$ ${R_1} + {R_2} = 2R\cos \frac{A}{2}$

score 0 · Answer 1

$1/$ Ta có $\frac{4}{a} = \frac{{2{h_a}}}{S}$
Vì trong mọi tam giác $ABC$ có ${h_a} \le {m_a}$,do đó   $\frac{4}{a} \le \frac{{2{m_a}}}{S}         (1)$
Vì $\frac{{a + b + c}}{S} = \frac{{2p}}{{pr}} = \frac{2}{r}$,nên từ ($1$) ta có
     $\frac{4}{a} \le \frac{{2{m_a}}}{S} + (\frac{{a + b + c}}{S} - \frac{2}{r})$
Hay $\frac{4}{a} \le \frac{{\frac{a}{2} + c + {m_a}}}{S} + \frac{{\frac{a}{2} + b + {m_a}}}{S} - \frac{2}{r}                                 (2)$
Dấu “$=$” xảy ra khi ${m_a} = {h_a}$
Trong tam giác $AMC$ có   $\frac{{\frac{a}{2} + c + {m_a}}}{S} = \frac{{\frac{a}{2} + c + {m_a}}}{{2S}} = \frac{1}{{{r_2}}}             (3)$
         (áp dụng công thức S=pr)
Tương tự $\frac{{\frac{a}{2} + m + {m_a}}}{S} = \frac{1}{{{r_1}}}                      (4)$
Từ ($2)(3)(4)$ suy ra      $\frac{4}{a} \le \frac{1}{{{r_1}}} + \frac{1}{{{r_2}}} - \frac{2}{r} (5)$
Dấu “$=$” trong ($5$) xảy ra khi có dấu “$=$” trong ($2$),tức ${h_a} = {m_a}$
Từ giả thiết suy ra trong ($5$) co dấu “$=”$
Từ đó suy ra $DPCM$
$2/$ áp dụng định lý hàm số sin trong tam giác $ABM$ và $AMC$ có
${R_1} = \frac{{BM}}{{2\sin {A_1}}} = \frac{a}{{4\sin {A_1}}};{R_2} = \frac{{MC}}{{2\sin {A_2}}} = \frac{a}{{4\sin {A_2}}}$
(ở đây $\widehat {BAM} = {A_1};\widehat {CAM} = {A_2}$ )
Theo bất đẳng thức Cosi,ta có :
${R_1} + {R_2} = \frac{a}{4}(\frac{1}{{\sin {A_1}}} + \frac{1}{{\sin {A_2}}}) \ge \frac{a}{{2\sqrt {\sin {A_1}\sin {A_2}} }} \ge \frac{a}{{\sin {A_1} + \sin {A_2}}} (1)$
Dấu “$=$” xảy ra khi ${A_1} = {A_2}$
Lại có :
$\frac{a}{{\sin {A_1} + \sin {A_2}}} = \frac{{2R.2\sin \frac{A}{2}c{\rm{os}}\frac{A}{2}}}{{2\sin \frac{{{A_1} + {A_2}}}{2}c{\rm{os}}\frac{{{A_1} - {A_2}}}{2}}} = \frac{{2R\cos \frac{A}{2}}}{{c{\rm{os}}\frac{{{A_1} - {A_2}}}{2}}}$
Từ đó đi đến     $\frac{a}{{\sin {A_1} + \sin {A_2}}} \ge 2R\cos \frac{A}{2}         (2)$
Dấu “$=$” xảy ra khi ${A_1} = {A_2}$
Từ $(1)(2)$ ta có     ${R_1} + {R_2} \ge 2R\cos \frac{A}{2}                                       (3)$
Dấu “$=$” trong ($3$) xảy ra khi có dấu “$=$” trong $(1)(2)$,tức
   $\begin{array}{l}
{A_1} = {A_2} \Leftrightarrow {m_a} = {l_a}\\
\end{array}$
$\Leftrightarrow ABC $là tam giác cân
Từ giả thiết suy ra trong ($3$) có dấu “=”,suy ra $DPCM$

Bài 102462

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102462

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan