|
|
a. Xem hệ $ \left\{ \begin{array}{l}
ax + y = b\\
x + ay = {c^2} + c
\end{array} \right. $
Ta có: $ D = {a^2} - 1;{D_x} = - {c^2} - c = - c\left( {c + 1} \right);{D_y} = a\left( {{c^2} + c} \right) $
Có các khả năng sau:
- Nếu $ {a^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne \pm 1 $
Hệ có nghiệm duy nhất: $ \left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{ - c\left( {c + 1} \right)}}{{{a^2} - 1}}\\
y = \frac{{ac\left( {c + 1} \right)}}{{{a^2} - 1}}
\end{array} \right. $
- Nếu $ a = \pm 1\,\,\,c \ne 0,c \ne - 1 $ vô nghiệm
- Nếu $ a = \pm 1\,\,\,\,c = 0\,\,\,\,V\,\,\,c = - 1 $ vô định.
b. Hệ đã cho tương đương với hệ: $ \left\{ \begin{array}{l}
y = b - ax\\
\left( {{a^2} - 1} \right)x + {c^2} + c - ab = 0
\end{array} \right.\,\,\,(1) $
Hệ có nghiệm $ \Leftrightarrow $ (1) có nghiệm
- Nếu $ a \ne \pm 1 \Leftrightarrow $ (1) có nghiệm duy nhất $ \Rightarrow $ hệ có nghiệm duy nhất $ \forall b. $
Do đó ta chỉ cần tìm b sao cho hệ có nghiệm khi $ a = \pm 1 $
- Xét $ a = 1: $
(1) Chỉ có nghiệm khi $ {c^2} + c - b = 0 $ (2)
Điều kiện để c tồn tại là
$ \Delta \ge 0 \Leftrightarrow 1 + 4b \ge 0 \Leftrightarrow b \ge - \frac{1}{4} $ (2’)
- $ a = - 1 $
(1) Chỉ có nghiệm khi $ {c^2} + c - b = 0 $ (3)
Điều kiện để c tồn tại là:
$ \Delta \ge 0 \Leftrightarrow 1 - 4b \ge 0 \Leftrightarrow b \le \frac{1}{4} $ (3’)
Tìm b thỏa (2’) và (3’) và với các giá trị đó của b, các phương trình (2) và (3) có nghiệm chung:
Giả sử $ c = {c_0} $ là nghiệm chung của (2) và (3) $ \Rightarrow b = 0 $
Ngược lại nếu b = 0 thì (2) và (3) có nghiệm chung: $ c = 0\,\,\,\,\,\,\,V\,\,\,\,\,c = - 1 $
Vậy b = 0.
|