|
|
Bài toán tương đương với giải hệ:
$ (*) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2}{x_3}{x_4} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\
{x_2} + {x_3}{x_4}{x_1} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\
{x_3} + {x_4}{x_1}{x_2} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\
{x_4} + {x_1}{x_2}{x_3} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 4 \right)
\end{array} \right. $
Trừ (1) cho (2), (1) cho (3), (1) cho (4) vế theo vế, ta có:
$ \begin{array}{l}
\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {1 - {x_3}{x_4}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\\
\left( {{x_1} - {x_3}} \right)\left( {1 - {x_2}{x_4}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\\
\left( {{x_1} - {x_4}} \right)\left( {1 - {x_3}{x_3}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,(7)
\end{array} $
Ta có:
$ (*) \Leftrightarrow (1),(5),(6),(7). $
Ta lại có:
$ \begin{array}{l}
(5) \Leftrightarrow {x_1} = {x_2}\,\,\,\,\,V\,\,\,\,{x_3}{x_4} = 1\\
(6) \Leftrightarrow {x_1} = {x_3}\,\,\,\,\,V\,\,\,\,{x_2}{x_4} = 1\\
(7) \Leftrightarrow {x_1} = {x_4}\,\,\,\,\,V\,\,\,\,{x_2}{x_3} = 1
\end{array} $
Do đó:
$ (*) \Leftrightarrow $ hợp 8 hệ phương trình, một hệ gồm phương trình (1) và một trong 2 phương trình hợp của (5), (6), (7).
- Xét hệ: $ \begin{array}{l}
(I)\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2}{x_3}{x_4} = 2\\
{x_1} = {x_2},{x_1} = {x_3},{x_1} = {x_4}
\end{array} \right.
\Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = {x_3} = {x_4} = 1
\end{array} $
- Xét hệ: $ \begin{array}{l}
\left( {II} \right)\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2}{x_3}{x_4} = 2\\
{x_1} = {x_2},{x_2}{x_4} = 1,{x_1} = {x_4}
\end{array} \right.
\Rightarrow {x_1}^2 = 1 \Rightarrow {x_1} = \pm 1,{x_2} = {x_4} = \pm 1,
\\ {x_3} = 1\,V {x_3} = 3
\end{array} $
Giải các hệ còn lại, ta tìm được các kết quả trên.
Vậy có 2 lời giải:
a. Cả 4 số đều bằng 1.
b. Có 1 số bằng 3;3 số còn lại đều bằng -1.
|