Bài 102875

Question

Tìm điều kiện cần và đủ để hệ phương trình : $ \left\{ \begin{array}{l}
x + py = n\\
x + y = p^z
\end{array} \right. $ trong đó $n$ và $p$ là những số tự nhiên đã cho, có nghiệm nguyên dương $( {x,y,z}) $.
Chứng minh rằng số nghiệm như vậy không nhiều hơn một.

score 0 · Answer 1

Phương trình $ x + y = {p^z} $ có nghiệm $ \left( {x,y} \right) $ nguyên dương khi và chỉ khi p > 1
Giả sử ta có: $ p \in {\rm N} $ và $ p > 1 $

Giải hệ đã cho theo x và y. ta có : $ \begin{array}{l}
x = \frac{{{p^{z + 1}} - n}}{{p - 1}} = \frac{{{p^{z + 1}} - 1}}{{p - 1}} - \frac{{n - 1}}{{p - 1}}
; y = \frac{{n - {p^z}}}{{p - 1}} = \frac{{n - 1}}{{p - 1}} - \frac{{{p^z} - 1}}{{p - 1}}
\end{array} $
Với $ z \in {Z_ + },\frac{{{p^{z + 1}} - 1}}{{p - 1}},\frac{{{p^z} - 1}}{{p - 1}}, \in Z $
Do đó x, y nguyên khi và chỉ khi $ (n - 1) \vdots (p - 1) $
và $ x,y > 0 \Leftrightarrow {p^z} + 1 > n > {p^z} $ như vậy không phải một lũy thừa của $p$ và $ n > p$. Bất đẳng thức $ {p^z} < n < {p^z} + 1 $ cho ta xác định $z$ một cách duy nhất theo $n$ và $p$, do đó số nghiệm của hệ phương trình không vượt quá một.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:

$1.p > 1$
$2.n - 1 \vdots p - 1$

$ 3.n \ne {p^m},m \in {Z_ + } $ và n > p : số nghiệm $ \left( {x,y,z} \right) $ nguyên dương không nhiều hơn một.

Bài 102875

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 102875

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan