Bài 102875

Question

Tìm điều kiện cần và đủ để hệ phương trình :

$\left\{ \begin{array}{l} x + py = n\\ x + y = p^z \end{array} \right.$ trong đó

$n$ và

$p$ là những số tự nhiên đã cho, có nghiệm nguyên dương

$( {x,y,z})$ .
Chứng minh rằng số nghiệm như vậy không nhiều hơn một.

score 0 · Answer 1

Phương trình

$x + y = {p^z}$ có nghiệm

$\left( {x,y} \right)$ nguyên dương khi và chỉ khi p > 1
Giả sử ta có:

$p \in {\rm N}$ và

$p > 1$

Giải hệ đã cho theo x và y. ta có :

$\begin{array}{l} x = \frac{{{p^{z + 1}} - n}}{{p - 1}} = \frac{{{p^{z + 1}} - 1}}{{p - 1}} - \frac{{n - 1}}{{p - 1}} ; y = \frac{{n - {p^z}}}{{p - 1}} = \frac{{n - 1}}{{p - 1}} - \frac{{{p^z} - 1}}{{p - 1}} \end{array}$
Với

$z \in {Z_ + },\frac{{{p^{z + 1}} - 1}}{{p - 1}},\frac{{{p^z} - 1}}{{p - 1}}, \in Z$
Do đó x, y nguyên khi và chỉ khi

$(n - 1) \vdots (p - 1)$
và

$x,y > 0 \Leftrightarrow {p^z} + 1 > n > {p^z}$ như vậy không phải một lũy thừa của

$p$ và

$n > p$ . Bất đẳng thức

${p^z} < n < {p^z} + 1$ cho ta xác định

$z$ một cách duy nhất theo

$n$ và

$p$ , do đó số nghiệm của hệ phương trình không vượt quá một.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:

$1.p > 1$

$2.n - 1 \vdots p - 1$

$3.n \ne {p^m},m \in {Z_ + }$ và n > p : số nghiệm

$\left( {x,y,z} \right)$ nguyên dương không nhiều hơn một.