Bài 103196

Question

Cho hệ phương trình: \(\begin{cases}x^2-y^2+a(x+y)=x-y+a (1)\\ x^2+y^2+bxy=3 (2) \end{cases}\)
a) Giải hệ phương trình khi \(a=b=1\).
b) Xác định tất cả các giá trị của \(a\) và \(b\) để hệ phương trình có nhiều hơn bốn nghiệm phân biệt.

score 0 · Answer 1

Giải
Phương trình \((1)\) tương đương: \((x^2-y^2)-(x-y)+a(x+y)-a=0\)
              \(\Leftrightarrow (x-y)(x+y-1)+a(x+y-1)=0\)
              \( \Leftrightarrow (x+y-1)(x-y+a)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x+y-1 = 0\\x-y+a = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1-x    (*)\\y = x+a    (**)\end{array} \right.\)
Thế vào \((2)\) ta được phương trình: \(\left[ \begin{array}{l}(2-b)x^2+(b-2)x-2 = 0               (3)\\(b+2)x^2+(ba+2a)x+a^2-3 = 0   (4)\end{array} \right.\)

a) Khi \(a=b=1\): Phương trình \((3)\) trở thành: \(x^2-x-2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = -1\\x = 2\end{array} \right.\)
    Thế vào (*) ta được nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x= -1\\ y= 2\end{cases}\\\begin{cases}x=2 \\ y=-1 \end{cases}\end{array} \right.\)
Phương trình \((4)\) trở thành: \(3x^2+3x-2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{-3+\sqrt{33}}{6}\\x = \frac{-3-\sqrt{33}}{6}\end{array} \right.\)
    Thế vào (**) ta được nghiệm: \(\left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x=x = \frac{-3+\sqrt{33}}{6} \\ y= \frac{3+\sqrt{33}}{6}\end{cases}\\\begin{cases}x= \frac{-3-\sqrt{33}}{6} \\ y= \frac{3-\sqrt{33}}{6} \end{cases}\end{array} \right.\)

b) Từ (*) và (**) ta nhận thấy rằng nghiệm của \((3)\) và \((4)\) đều là nghiệm của hệ đã cho.
     Trường hợp khi \(b=2\) thì \((3)\) vô nghiệm, do đó với mọi \(b\) thì \((3)\) không có hơn hai nghiệm.
Vì vậy hệ có nhiều hơn bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi \((4)\) có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow \begin{cases}b+2=0 \\ ba+2a=0 \\ a^2-3=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}b=-2 \\ a=\pm \sqrt{3} \end{cases}\)
Vậy với \( \begin{cases}b=-2 \\ a=\pm \sqrt{3} \end{cases}\) thì hệ có hơn bốn nghiệm phân biệt.

Bài 103196

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103196

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan