|
|
Cách 1 : Giả sử ΔABC đều, nội tiếp đường tròn (O;R), đường thẳng d qua O cắt đường tròn tại M và N. Gọi các điểm đối xứng của M qua OA,OB,OC lần lượt là A′,B′,C′.
Ta có do đó ΔA′B′C′ đều.
Mặt khác, các khoảng cách từ A,B,C đến d tương ứng bằng các khoảng cách từ M đến OA,OB,OC và do đó, tương ứng bằng nửa các khoảng cách từ M đến A′,B′,C′. Kết hợp với Bài 103290 , ta có tổng bình phương các khoảng cách từ A,B,C đến d bằng
14(MA′2+MB′2+MC′2)=146R2=32R2
Cách 2 : trước hết ta sẽ chứng minh.
cos2(→OM,→OA)+cos2(→OM,→OB)+cos2(→OM,→OC)=không đổi.
Không ảnh hưởng đến tính tổng quát ta có thể coi R=1, tức là |→OA|=|→OB|=|→OC|=|→OM|=1
Giả sử →OM=α→OA+β→OB+γ→OC với α+β+γ=1
Ta có 1=→OM2=α2+β2+γ2+2(αβ→OA.→OB+βγ→OB.→OC+γα→OC.→OA)
=α2+β2+γ2−(αβ+βγ+γα)=(α+β+γ)2−3(αβ+βγ+γα)=1−3(αβ+βγ+γα)⇒αβ+βγ+γα=0⇒α2+β2+γ2=1
Khi đó :
cos2(→OM,→OA)+cos2(→OM,→OB)+cos2(→OM,→OC)==(→OM.→OA)2+(→OM.→OB)2+(→OM.→OC)2=[(α→OA+β→OB+γ→OC).→OA]2+[(α→OA+β→OB+γ→OC).→OB]2+[(α→OA+β→OB+γ→OC).→OC]2
=(α−12β−12γ)2+(β−12γ−12α)2+(γ−12α−12β)2=14[(2α−β−γ)2+(2β−α−γ)2+(2γ−α−β)2]=14[6(α2+β2+γ2)−6(αβ+βγ+γα)]=14.6=32
Trở lại bài toán, tổng bình phương các khoảng cách từ A,B,C đến d bằng
OA2.sin2(→OM,→OA)+OB2.sin2(→OM,→OB)+OC2.sin2(→OM,→OC)=R2[3−cos2(→OM,→OA)−cos2(→OM,→OB)−cos2(→OM,→OC)]=R2(3−32)=32R2
|
|
|
Đăng bài 07-05-12 10:05 AM
|
|