Bài 108181

Question

Cho tứ giác

$ABCD$ .Giả sử tồn tại điểm

$O$ sao cho:

$\begin{cases}|\overrightarrow {OA}|=|\overrightarrow {OB}|=|\overrightarrow {OC}| =|\overrightarrow {OD}| \\ \overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=\overrightarrow {0} \end{cases}$
Chứng minh rằng:

$ABCD$ là hình chữ nhật.

score 1 · Answer 1

Từ phương trình thứ nhất của hệ,ta suy ra điểm

$O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác

$ABCD$

$(1)$
Gọi

$M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh

$AB,BC,CD,DA$ .
Từ giả thiết:

$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {OM}+2\overrightarrow {OP}\Leftrightarrow \overrightarrow {OM}+\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {0}$

$\Leftrightarrow M,P,O$ thẳng hàng và

$O$ là trung điểm

$MP$ .

$(2)$

$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {ON}+2\overrightarrow {OQ}=\overrightarrow {ON}+\overrightarrow {OQ}=\overrightarrow {0}$

$\Leftrightarrow N,Q,O$ thẳng hàng và

$O$ là trung điểm

$NQ$ .

$(3)$
Từ

$(2)$ và

$(3)$ suy ra

$MNPQ$ là hình bình hành,suy ra:
*

$A,C,O$ thẳng hàng và

$O$ là trung điểm

$AC$ .
*

$B,D,O$ thẳng hàng và

$O$ là trung điểm