Bài 109571

Question

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$,tâm $O$ . $M$ là điểm tùy ý trên đường tròn nội tiếp hình vuông và $N$ là điểm tùy ý trên cạnh $BC$. Tính:

a) $\overrightarrow {MA}.\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}.\overrightarrow {MD}$

b) $\overrightarrow {NA}.\overrightarrow {AB}$

c) $\overrightarrow {NO}.\overrightarrow {BA}$

score 1 · Answer 1

a.Ta có:

$\overrightarrow {MA}.\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}.\overrightarrow {MD}$

$=(\overrightarrow {MO}+\overrightarrow {OA}).(\overrightarrow {MO}+\overrightarrow {OB})+(\overrightarrow {MO}+\overrightarrow {OC}).(\overrightarrow {MO}+\overrightarrow {OD})$

$=2.\overrightarrow {MO}^{2}+\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}+\overrightarrow {MO}(\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD})$

$=\frac{1}{4}a^{2}$

bởi $OA \bot OB,OC \bot OD$ và $\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=\overrightarrow {0}$

b.Ta có: $B$ là hình chiếu vuông góc của $N$ lên $AB$,do đó:

$\overrightarrow {NA}.\overrightarrow {AB}=\overline {BA}.\overline {AB}=-\overline {AB}.\overline {AB}=-AB^{2}=-a^{2}$

c.Gọi $K$ là trung điểm của $AB$,suy ra $M$ là hình chiếu vuông góc của $O$ lên $AB$,do đó:

$\overrightarrow {NO}.\overrightarrow {BA}=\overline {BK}.\overline {BA}=\frac{1}{2}a.a=\frac{1}{2}a^{2}$