Bài 103333

Question

Qua trung điểm mỗi cạnh của tứ giác ta dựng các đường thẳng tương ứng vuông góc với cạnh đối. Chứng minh rằng nếu ba trong bốn đường thẳng đó đồng quy thì cả bốn đường thẳng đồng quy.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 11:12:50 AM

Gọi $M,N,P,Q$ theo thứ tự là trung điểm các cạnh $AB,BC,CD,DA$ của tứ giác $ABCD$. Giả sử các đường thẳng qua $M,N,P$ lần lượt vuông góc với $CD,DA,AB$ đồng quy tại $O$. Ta có :
$\left\{ \begin{array}{l}
\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {CD} = 0\\
\overrightarrow {ON} .\overrightarrow {DA} = 0\\
\overrightarrow {OP} .\overrightarrow {AB} = 0
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OC} } \right) = 0\\
\left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} } \right)\left( {\overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OD} } \right) = 0\\
\left( {\overrightarrow {OC} + \overrightarrow {OD} } \right)\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = 0
\end{array} \right.$
Khai triển rồi cộng từng vế các đẳng thức trên ta có :
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {OC} .\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} .\overrightarrow {OD} - \overrightarrow {OA} .\overrightarrow {OB} = 0\\
\Rightarrow \left( {\overrightarrow {OD} + \overrightarrow {OA} } \right)\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OB} } \right) = 0\\
\Rightarrow 2\overrightarrow {OQ} .\overrightarrow {BC} = 0\\
\Rightarrow OQ \perp BC
\end{array}$
Vậy đường thẳng qua $Q$ vuông góc với $BC$ cũng qua $O$, tức là bốn đường đồng quy.

Bài 103333

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103333

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan