Bài 103359

Question

Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp các điểm $M$ sao cho
a) $MB^2 + MC^2 - MA^2 = 0 (1)$
b) $MB^2 + MC^2 - 2MA^2 = 0 (2)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/7/2012 11:58:15 AM

a)    Dựng hình bình hành $ABEC$.
Ta có $\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} - \overrightarrow {EA} = \overrightarrow 0 \Rightarrow M{B^2} + M{C^2} - M{A^2}=$
$\begin{array}{l}
= {\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EB} } \right)^2} + \left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EC} } \right) - {\left( {\overrightarrow {ME} + \overrightarrow {EA} } \right)^2}\\
= M{E^2} + 2\overrightarrow {ME} \left( {\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} - \overrightarrow {EA} } \right) + E{B^2} + E{C^2} - E{A^2}
\end{array}$
Do đó $\left( 1 \right) \Leftrightarrow M{E^2} = - \left( {E{B^2} + E{C^2} - E{A^2}} \right)$
$\begin{array}{l}
\Leftrightarrow M{E^2} = {\left( {\overrightarrow {EB} + \overrightarrow {EC} } \right)^2} - \left( {E{B^2} + E{C^2}} \right)\\
\Leftrightarrow M{E^2} = 2\overrightarrow {EB} .\overrightarrow {EC} \\
\Leftrightarrow M{E^2} = 2\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\
\Leftrightarrow M{E^2} = 2AB.AC.\cos A
\end{array}$
-    Nếu $\widehat A$ tù : Tập hợp các điểm $M$ là $\emptyset $.
-    Nếu $\widehat A$ vuông : Tập hợp các điểm $M$ là $\left\{ E \right\}$
-    Nếu $\widehat A$ nhọn : Tập hợp các điểm $M$ là đường tròn $\left( {E;\sqrt {2AB.AC.\cos A} } \right)$

b)    Cách 1 : Gọi $I$ là trung điểm của $BC, J$ là trung điểm của $AI$.
ta có $M{B^2} + M{C^2} - 2M{A^2} = 0$
$ \Leftrightarrow 2M{I^2} + \frac{{B{C^2}}}{2} - 2M{A^2} = 0$
$ \Leftrightarrow M{A^2} - M{I^2} = \frac{{B{C^2}}}{4}$
$ \Leftrightarrow {\rm M}$ thuộc đường thẳng vuông góc với $AI$ tại $H$, xác định bởi : $\overline {JH} = \frac{{B{C^2}}}{{8\overline {AI} }}$

Cách 2 : Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp, $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$.
Ta có $\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OC} } \right)^2} - 2\left( {\overrightarrow {MO} + \overrightarrow {OA} } \right)^2 = 0$
       $\begin{array}{l}
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - 2\overrightarrow {OA} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MO} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} - 3\overrightarrow {OA} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow 2\overrightarrow {MO} \left( {3\overrightarrow {OG} - 3\overrightarrow {OA} } \right) = 0\\
\Leftrightarrow \overrightarrow {MO} .\overrightarrow {AG} = 0 \Leftrightarrow MO \bot AG
\end{array}$
          $ \Leftrightarrow M$ thuộc đường thẳng qua $O$, vuông góc với $AG$

Bài 103359

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 103359

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan