Bài 104330

Question

$1$. Giải hệ phương trình :
$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + x + y + 1} + x + \sqrt {{y^2} + x + y + 1} + y = 18\\
\sqrt {{x^2} + x + y + 1} - x + \sqrt {{y^2} + x + y + 1} - y = 2
\end{array} \right.$
$2$. Trong các nghiệm ($x;y$) của bất phương trình:
${\log _{{x^2} + 2{y^2}}}\left( {2x + y} \right) \ge 1$
hãy chỉ ra nghiệm có tổng $2x + y$ lớn nhất.

score 0 · Answer 1

$1.$Cộng hai phương trình ta được
$\sqrt{x^2+x+y+1}+\sqrt{y^2+x+y+1}=10            (1)$
Thế vào phương trình đầu ta được $x+y=8       (2)$
Thế $(2)$ vào $(1)$ :$ \sqrt{x^2+9}+\sqrt{y^2+9}=10        (3)$
Đặt $t=x-4$ thì $x=4+t$ và $y=4-t$, thế vào $(3)$ :
$\sqrt{t^2+8t+25}+\sqrt{t^2-8t+25}=10$
Bình phương $2 $ vế và rút gọn :
$\sqrt{(t^2+25)^2-64t^2}=25-t^2$
$\Leftrightarrow \begin{cases}25-t^2\geq 0 \\ (t^2+25)^2-64t=(25-t^2)^2 \end{cases}\Leftrightarrow t=0$
Hệ có nghiệm duy nhất $x=y=4$
$2.$ Biến đổi tương đương bất phương trình đã cho
$log_{x^2+2y^2}(2x+y)\geq 1             (1)$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\begin{cases}x^2+2y^2>1 (A) \\ 2x+y\geq x^2+2y^2 \end{cases}\\\begin{cases}0<x^2+2y^2<1\\ 0<2x+y\leq x^2+2y^2 (B) \end{cases}\end{array} \right.$
Xét $T=2x+y$ với $(x;y)$ là một nghiệm $(1)$
- Nếu $(x;y)$ thỏa mãn $(B)$ thì
$T=2x+y\leq x^2+2y^2<1\Rightarrow T<1$
- Nếu $(x;y)$ thỏa mãn $(A)$ thì
$x^2+2y^2\leq 2x+y$
$\Leftrightarrow (x-1)^2+(\sqrt{2}y-\frac{1}{2\sqrt{2}})^2\leq \frac{8}{9}$
Theo bunhiacopxki :
$[2(x-1)+\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2}y-\frac{1}{2\sqrt{2}})]^2\leq \frac{8}{9}[(x-1)^2+\frac{1}{\sqrt{2}}(\sqrt{2}y-\frac{1}{2\sqrt{2}})]^2$
                                                             $ \leq \frac{8}{9}.\frac{9}{2}=\frac{9^2}{16}$

$\Rightarrow 2x+y-9/4\leq 9/4\Rightarrow T\leq 9/4$
Vậy $T\leq 9/2,\forall (x,y)$ nghiệm đúng $(1)$
$T=\frac{9}{2}\Leftrightarrow \begin{cases}2x+y=\frac{9}{2} \\ \frac{x-1}{2}=\frac{\sqrt{2}y-\frac{1}{2\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} \end{cases}$
Dùng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, tính được $x=2, y=1/2$. Kiểm tra trực tiếp thấy $x=2, y=1/2$ thỏa mãn $(A)$, do đó nghiệm của $(1)$ làm cho $T=2x+y$ lớn nhất

Bài 104330

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104330

1 Đáp án

Liên quan

Giải hệ phương trình bằng phương pháp phân tích thành nhân tử

Hệ phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đối xứng loại I + II và các bài toán liên quan

Lý thuyết liên quan