Bài 104505

Question

Cho hàm số

$y = f(x) = {x^4} + 2m{x^2} + m$ , m là tham số

$1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi

$m =-1.$

$2$ . Tìm tất cả các giá trị của

$m$ để hàm số

$f(x) > 0$ với mọi

$x$ .Với các giá trị

$m$ tìm được ở trên, chứng minh rằng hàm số :

$F(x) = f(x) + f'(x) + f''(x) + f'''(x) + {f^{(4)}}x > 0 \forall x$

$(f^{(4)} (x$ ) là kí hiệu đạo hàm cấp

$4$ của hàm số

$f(x)$ tại điểm

$x)$

score 0 · Answer 1

Giải

$1$ ). Bạn đọc tự giải.

$2$ ). Tìm

$m$ để

$f(x) = {x^4} + 2m{x^2} + m > 0 \forall x$
+ Cần:

$f(x) > 0\forall x => f(0) > 0 => m > 0$
+ Đủ:

$m > 0 => f(x) ={x^4} + 2m{x^2} + m> 0 \forall x$
Đáp số:

$m > 0.$
Chứng minh khi

$m > 0$ thì

$F(x) > 0 \forall x$ . Tính đạo hàm từ cấp

$1$ đến cấp

$4$ của

$f(x$ ) ta được:

$\begin{array}{l} F(x) = {x^4} + 4{x^3} + (2m + 12){x^2} + (24 + 4m)x + 5m + 24\\ = {({x^2} + 2x)^2} + m(2{x^2} + 4x + 5) + 8({x^2} + 3x + 3) > 0\forall x,\forall m > 0 \end{array}$

Bài 104505

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104505

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan