Bài 104598

Question

$1$ . Trong không gian với hệ tọa độ Đề các trực chuẩn

$Oxyz$ cho

$4$ điểm

$A(1;0;0) B(1;1;0) C(0;1;0) D(0;0;m)$ với

$m$ là tham số khác

$0$ .

$a$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

$AC, BD$ khi

$m = 2.$

$b$ . Gọi

$H$ là hình chiếu vuông góc của

$O$ lên

$BD$ . Tìm các giá trị của tham số

$m$ để diện tích tam giác

$OBH$ đạt giá trị lớn nhất.

score 0 · Answer 1

$a) m = 2$

$\Rightarrow \overrightarrow {AC} ( - 1;1;0)\,;\overrightarrow {BD} ( - 1; - 1;2)$ .
Khi đó phương trình mặt phẳng (

$P$ ) chứa

$AC$ và //BD đi qua

$A(1;0;0)$ và

$\bot \overrightarrow {{n_P}} = {\rm{[}}\overrightarrow {AC;} \overrightarrow {BD} {\rm{] = (2;2;2)}}$ là:

$\begin{array}{l} 2(x - 1) + 2y + 2z = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 1 = 0\\ d(AC;BD) = d(B;(P)) = \frac{{|1 + 1 + 0 - 1|}}{{\sqrt 3 }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \end{array}$

$b) \overrightarrow {BD} = ( - 1; - 1;m)$
Phương trình mặt phẳng (

$Q$ ) qua

$O$ vuông góc

$\overrightarrow {BD} ( - 1; - 1;m)$ là:

$x + y - mz = 0$
PT đường thẳng

$(BD):$

$\left\{ \begin{array}{l} x = 1 - t\\ y = 1 - t\\ z = mt \end{array} \right.$
Thay vào pt mặt phẳng (

$Q$ ):

$t = \frac{2}{{2 + {m^2}}}$
Vậy:

$\begin{array}{l} BD \cap (Q) = H\left( {\frac{{{m^2}}}{{2 + {m^2}}};\frac{{{m^2}}}{{2 + {m^2}}};\frac{{2m}}{{2 + {m^2}}}} \right)\\ \overrightarrow {OB} = (1;1;0)\\ \overrightarrow{OH}(\frac{m^2}{2+m^2};\frac{m^2}{2+m^2};\frac{2m}{2+m^2})\\\Rightarrow [\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OH}]=(\frac{2m}{2+m^2};\frac{-2m}{2+m^2};0)\\{S_{\Delta OBH}} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {OB} \overrightarrow {OH} } \right] = \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{4{m^2}}}{{{{\left( {2 + {m^2}} \right)}^2}}} + \frac{{4{m^2}}}{{{{\left( {2 + {m^2}} \right)}^2}}}} \le \frac{1}{2} \end{array}$
( Theo BĐT Cauchy)
Vậy

$max{S_{OBH}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow m = \pm \sqrt 2$

Bài 104598

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104598

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan