Bài 104622

Question

1)    a và $b > 0$ là hằng số x và $y > 0$ là biến số, thỏa mãn điều kiện $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$. Tìm min $S = x + y$
2)    Giả sử $x(x - 1) + y(y - 1) + z(z - 1) \le \frac{4}{3}$. Tìm max, min của $A = x + y + z$. Tìm max của $B = {x^2} + {y^2} + {z^2}$
3)    Với $x,y,z > 0$ và $x + y + z = 1$ . Tìm min $A = \frac{x + y}{xyz}$
4)    Với $x > y > 0$, tìm min $B = x + \frac{1}{{xy(x - y)}}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/17/2012 4:36:16 PM

1)    Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski để làm xuất hiện $x + y$ và $\frac{a}{x} + \frac{b}{y}$
${\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)^2} = {\left( {\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt x }}.\sqrt x + \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt y }}.\sqrt y } \right)^2} \le \left( {\frac{a}{x} + \frac{b}{y}} \right)\left( {x + y} \right) = x + y$
Dấu bằng xảy ra khi : $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt a }}{{\sqrt x }}:\sqrt x = \frac{{\sqrt b }}{{\sqrt y }}:\sqrt y \\
\frac{a}{x} + \frac{b}{y}=1
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{\sqrt a }}{x} = \frac{{\sqrt b }}{y}\\
\frac{a}{x} + \frac{b}{y}=1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \sqrt a \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)\\
y = \sqrt b \left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)
\end{array} \right.$
2)    a) Để làm xuất hiện $A = x + y + z$, ta sử dụng bất đẳng thức quen thuộc
$ {x^2} + {y^2} + {z^2} \ge \frac{1}{3}{(x + y + z)^2} $ , chú ý đẳng thức xảy ra $ \Leftrightarrow x=y=z$
Và viết
$\frac{4}{3} \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) \ge \frac{1}{3}{(x + y + z)^2} - (x + y + z)$
$ \Rightarrow \frac{4}{3} \ge \frac{1}{3}{A^2} - A \Rightarrow {A^2} - 3A - 4 \le 0 \Rightarrow - 1 \le A \le 4$
$A = - 1 \Leftrightarrow x = y = z =- \frac{1}{3}$
$A = 4 \Leftrightarrow x = y = z = \frac{4}{3}$
Vậy min $A = - 1$, max$A = 4$
b) Để làm xuất hiện $B = {x^2} + {y^2} + {z^2}$, ta có $\frac{4}{3} \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} - (x + y + z) \ge {x^2} + {y^2} + {z^2} - \sqrt {3({x^2} + {y^2} + {z^2})} $
hay $B - \sqrt 3 .\sqrt B - \frac{4}{3} \le 0 \Rightarrow ( \sqrt B + \frac{1}{{\sqrt 3 }} )( \sqrt B - \frac{4}{{\sqrt 3 }} ) \le 0 \Rightarrow \sqrt B \le \frac{4}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow B \le \frac{{16}}{3}$
    $B = \frac{{16}}{3}$ chẳng hạn khi $x = y = z = \frac{4}{3}$. Vậy $\max B = \frac{{{\rm{16}}}}{{\rm{3}}}$
3) Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức dạng $ \left ( P+Q \right )^2 \ge 4PQ $ , đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow P=Q$.
$A = \frac{{x + y}}{{xy}} \ge \frac{{4(x + y)}}{{{{(x + y)}^2}.z}} = \frac{4}{{\left( {x + y} \right).z}} \ge \frac{{16}}{{{{\left( {x + y + z} \right)}^2}}} = 16$
Đẳng thức xảy ra khi $\left\{ \begin{array} x=y \\ x+y=z\\x+y+z=1 \end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = \frac{1}{4}.z = \frac{1}{2}$. Vậy $\min A = 16$
4) Áp dụng bất đẳng thức dạng $ \left ( P+Q \right )^2 \ge 4PQ $ , đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow P=Q$ và Bất đẳng thức Cô-si (Cauchy) cho bốn số dương ta được
$B \ge x + \frac{{4}}{{x.{{(y + x - y)}^2}}} = x + \frac{4}{{{x^3}}} = \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{x}{3} + \frac{4}{{{x^3}}} \ge 4.\sqrt[4]{{\frac{4}{{27}}}}$
    $B =4. \sqrt[4]{{\frac{4}{{27}}}}$ khi $\left\{ \begin{array}{l}
\frac{x}{3} = \frac{4}{{{x^3}}}\\
y = x - y
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \sqrt[4]{{12}},y = \frac{1}{2}\sqrt[4]{{12}}$
Vậy $\min B = 4.\sqrt[4]{{\frac{4}{{27}}}}$

Bài 104622

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104622

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan