|
|
$\begin{array}{l}
1.{\rm{ Xét hệ phương trình:}}\\
\left\{ \begin{array}{l}
2x + y + 1 = 0\,\,\,(1)\\
x - y + z - 1 = 0\,\,\,(2)\\
3x + y - z + 3 = 0\,\,\,(3)\\
2x - y + 1 = 0\,\,(4)
\end{array} \right.
\end{array}$
$\begin{array}{l}
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - 1/2\\
y = 0\\
z = 3/2
\end{array} \right.\\\end{array}$
$(1),(4)\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2},y=0$ thế vào $(2)$ và $(3)$ được $z=\frac{3}{2}$.Vậy hệ có nghiệm duy nhất $x=\frac{-1}{2},y=0,z=\frac{3}{2}$ do đó hai đường thẳng $\Delta$ với phương trình $(1),(2)$ và $\Delta'$ (với phương trình $(3),(4)$) cắt nhau và giao điểm của chúng là : $I=\frac{-1}{2},0,\frac{3}{2}$
$\begin{array}{l}
2.\,\forall a,b { không đồng thời bằng 0}\\
{\rm{a(2x + y + 1) + b(x - y + z - 1) = 0}}\\
{\rm{là phương trình tổng quát của mặt phẳng (}}\beta
{\rm{) di qua (}}\Delta {\rm{)}}
\end{array}$
$M \in \Delta ' \Rightarrow M(0;1;4)$.
Mặt phẳng $(\beta )$cần tìm qua $\Delta ;\Delta '$ nên $(\beta )$ đi qua M
$ \Leftrightarrow 2a + 2b = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
b = - a\\
a \ne 0
\end{array} \right.$
Do đó phương trình tổng quát của mặt phẳng $(\beta )$:
$\begin{array}{l}
a(2x + y + 1) - a(x - y + z - 1) = 0\\
\Leftrightarrow 2x + y + 1 - (x - y + z - 1) = 0\\
\Leftrightarrow x + 2y - z + 2 = 0
\end{array}$
$3$. Trong phương trình $(\beta )$, cho $y = z = 0$ $ \Rightarrow x = - 2$
$(\beta )$cắt $Ox$ tại $A(-2;0;0)$. Tương tự $(\beta )$cắt $Oy$ và $Oz$ theo thứ tự tại $B(0;-1;0),
C(0;0;2)$. Do đó thể tích phần không gian giới hạn bởi $(\beta )$ và ba mặt phẳng tọa độ là bằng:
${V_{OABC}} = \frac{1}{3}OA.OB.OC =\frac{1}{3}.2.1.2= \frac{3}{4}\,\,$(đvtt)
|