Bài 105704

Question

Cho hàm số    $y=\frac{x^2-2|x|+2}{|x|-1} $
1)    Xác định các cực đại và cực tiểu của hàm số, các tiệm cận của đồ thị và vẽ đồ thị của hàm số.
2)    Viết phương trình các tiếp tuyến kẻ đến đồ thị từ điểm $(3, 0)$.
3)    Chứng tỏ rằng nếu $\left| k \right| > 1$ thì đường thẳng $y = kx + m$ luôn luôn cắt đồ thì với mọi $m$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/25/2012 2:55:03 PM

$1)$    Ta viết lại hàm số dưới dạng
$y = \left| x \right| - 1 + \frac{1}{{\left| x \right| - 1}}$
Hàm số xác định với mọi $x \ne \pm 1$.
Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $\left| x \right| = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$, tiệm cận xiên
$y = \left| x \right| - 1 = \left\{ \begin{array}{l}
x - 1{\rm{          khi }} x \ge {\rm{0}}\\
- x - 1{\rm{       khi }} x\le {\rm{0}}
\end{array} \right.$
Ta có: $y\left( { - x} \right) = \left| { - x} \right| - 1 + \frac{1}{{\left| x \right| - 1}} = \left| x \right| - 1 + \frac{1}{{\left| x \right| - 1}} = y\left( x \right)$
Nếu $y\left( x \right)$ là hàm số chẵn $ \Rightarrow $ đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung, do đó vẽ đồ thị ứng với $x \ge 0$, sau đó lấy đối xứng qua trục tung phần đồ thị đã vẽ được.
Với $x \ge 0$ ta có: $y = \left| x \right| - 1 + \frac{1}{{\left| x \right| - 1}}$
    $y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$;
Vẽ bảng biến thiên:
Đồng thời ta có:
${y_{ct}} = 2$, đạt tại $x = 2,x = - 2$; ${y_{cd}} = - 2$, đạt tại $x = 0$.
Đồ thị hàm số:

$2)$    Tiếp tuyến của đồ thị hàm số đi qua điểm $(3, 0)$ nên có dạng $y = k\left( {x - 3} \right)$. Đầu tiên ta xét các tiếp tuyến đi qua $(3, 0)$ tiếp xúc với đồ thị ứng với $x \ge 0$.
Gọi ${x_0}$ là hoành độ tiếp điểm và đặt $t = {x_0} - 1 \ge - 1$ ta có:
${x_0} - 1 + \frac{1}{{{x_0} - 1}} = k\left( {{x_0} - 3} \right) \Leftrightarrow t + \frac{1}{t} = k\left( {t - 2} \right)$           $(1)$
$1 - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = k \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{{{t^2}}} = k$                   $ (2)$
Thế $(2)$ vào $(1)$ ta có:
$t + 1/t = \left( {1 - 1/{t^2}} \right)\left( {t - 2} \right) \Leftrightarrow {t^2} + t - 1 = 0$
$t = \frac{{ - 1 - \sqrt 5 }}{2} < - 1$: loại $t = \frac{{ - 1 + \sqrt 5 }}{2}$.
Từ đó $k = 1 - \frac{1}{{{t^2}}} = - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}$, vậy ta có một tiếp tuyến cần tìm là $y = - \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\left( {x - 3} \right)$.
Với $x \le 0$ ta có: $y = - x - 1 - 1/\left( {x + 1} \right),y' = - 1 + 1/{\left( {x + 1} \right)^2}$
Lại gọi ${x_0}$ là hoành độ tiếp điểm và đặt $t = {x_0} - 1 \le 1$ ta có
$ - \left( {{x_0} + 1} \right) + \frac{1}{{ - \left( {{x_0} + 1} \right)}} = k\left( {{x_0} - 3} \right) \Leftrightarrow - t + \frac{1}{{ - t}} = k\left( {t - 4} \right)$        $(3)$
$ - 1 + \frac{1}{{{{\left( {{x_0} + 1} \right)}^2}}} = k \Leftrightarrow - 1 + \frac{1}{{{t^2}}} = k$                $(4)$
Thế $(4)$ vào $(3)$ ta có
$\begin{array}{l}
- 1 + \frac{1}{{ - t}} = \left( { - 1 + \frac{1}{{{t^2}}}} \right)\left( {t - 4} \right)\\
\Leftrightarrow 2{t^2} + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{{1 \pm \sqrt {17} }}{4}
\end{array}$
Từ đó $k = \frac{1}{{{t^2}}} - 1 = \frac{{1 \pm \sqrt {17} }}{4}$, vậy ta có 2 tiếp tuyến cần tìm là $y = \frac{{1 \pm \sqrt {17} }}{4}\left( {x - 3} \right)$.

$3)$    Căn cứ vào đồ thị, do $k$ là hệ số góc của $y = kx + m$ và $ \pm 1$ là hệ số góc của tiệm cận xiên nên ta có với $k > 1$ đường thẳng $y = kx + m$ sẽ đi vào vùng $I$, do đó cắt đồ thị hàm số, với $k < - 1$ đường thẳng $y = kx + m$ sẽ đi vào vùng $II$, do đó cắt đồ thị hàm số (với mọi $m$).
Vậy với mọi $m$ và $\left| k \right| > 1$ thì $y = kx + m$ luôn cắt đồ thị hàm số đã vẽ ở phần 1)

Bài 105704

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105704

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan