Bài 105887

Question

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy hình chữ nhật $ABCD$ với $AB = 2a, BC = a$. Các cạnh bên của hình chóp bằng nhau và bằng $a\sqrt 2 $.
$1$. Tính thể tích của hình chóp $S.ABCD$.
$2$. Gọi $M, N, E, F$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB, CD, SC, SD$. Chứng minh rằng $SN$ vuông góc với mặt phẳng $(MEF).$
$3$. Tính khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng $(SCD).$

score 0 · Answer 1

$1.$ Gọi $H$ là tâm của hình chữ nhật là $ABCD$, vì $\Delta SBD$ cân tại $S$, nên $SH \bot AC$.
Vậy $SH \bot (ABCD)$
Tam giác $SMN$ có:
$SM = SN = \sqrt {S{A^2} - A{M^2}} = a = MN$
$ \Rightarrow \Delta SMN$ đều cạnh $a$, từ đó ta được $SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$
${V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SH.dt\left( {ABCD} \right) = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{3}$ (đvtt)
$2.$ Gọi $I$ là giao điểm của $SN$ và $EF$, ta có$ I$ là trung điểm của $EF$ và $SN$. Vì thế $MI$ là đường cao của tam giác đều $SMN \Rightarrow MI \bot SN\,\,(1)$
Mặt khác do tam giác $SDC$ cân tại $S$ nên $SN \bot DC => SN \bot EF (2)$
Từ ($1$) và ($2$) $\Leftrightarrow SN \bot (EFM)$
$3.$ Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}
DC \bot SH\\
DC \bot MN
\end{array} \right. \Rightarrow DC \bot MI \Rightarrow {\rm{EF}} \bot
{\rm{MI}}\,\,\,{\rm{(3)}}$
Mặt khác, ta có từ $b) : SN \bot MI (4)$
Từ ($3$) và ($4$) suy ra $MI \bot (SDC)$. Vì $AM // (SDC$) nên khoảng cách từ $A$ đến mặt phẳng ($SDC$) bằng khoảng cách từ $M$ đến $mp(SDC$) bằng $MI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}$

Bài 105887

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105887

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan