Giao điểm đường cong và đường thẳng có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình
$\begin{cases}y^2=2x \\ x-2y+2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y^2=2x \\ \frac{y^2}{2}-2y+2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=2 \\ y=2 \end{cases} $
Vì phương trình $\frac{y^2}{2}-2y+2=0 $ có nghiệm kép $y=2$ nên đường thẳng và parabon đã cho tiếp xúc với nhau tại $A(2,2)$
Do đó diện tích cần tính là
$S= \int\limits_{-2}^{0} (\frac{x+2}{2} )dx+\int\limits_{0}^{2} (\frac{x+2}{2}-\sqrt{2x} )dx$
$= \int\limits_{-2}^{2} (\frac{x+2}{2} )dx-\int\limits_{0}^{2}\sqrt{2x} dx $
$=\frac{1}{2} \int\limits_{-2}^{2} (x+2)d(x+2)-\frac{1}{2} \int\limits_{0}^{2} \sqrt{2x} d2x$
$=\frac{1}{4}(x+2)^2|^2_{-2}-\frac{1}{3}\sqrt{(2x)^3}|^2_0=\frac{4}{3}$(đvdt)