Bài 105943

Question

Chứng minh các định lý:
a) Điều kiện cần và đủ để một tam giác vuông là đường trung tuyến ứng với một cạnh thì bằng một nửa cạnh ấy.
b) Điều kiện cần và đủ để một hình bình hành là một hình thoi là nó có hai đường chéo vuông góc.

Kit Nguyen · Answer 1 · 5/28/2012 3:11:27 PM

a) Chứng minh hai mệnh đề:
* $\Delta ABC$ vuông tại $A$ thì trung tuyến $AM = \frac{1}{2}BC$
Theo công thức trung tuyến ta có: $AM^2 = \frac{AB^2 + AC^2}{2} - \frac{BC^2}{4}$              (1)

$\Delta ABC$ vuông tại $A$ nên: $AB^2 + AC^2 = BC^2$                                      (2)

Từ (1) và (2) cho ta: $AM^2 = \frac{BC^2}{4}        \Rightarrow 4AM^2 = BC^2   \Rightarrow 2AM = BC          $
* Nếu $AM = \frac{1}{2}BC$ thì $\Delta ABC$ vuông tại $A$.
$\Delta AMB$ cân tại $M   \Rightarrow   \widehat{MAB} = \widehat{B}$.
$\Delta AMC$ cân tại $M   \Rightarrow   \widehat{MAC} = \widehat{C}$.
                                    $ \Rightarrow \widehat{MAB} + \widehat{MAC} = \widehat{B} + \widehat{C} \Rightarrow \widehat{A} = \widehat{B} + \widehat{C}$
Vì $\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^0$ nên từ kết quả trên, ta suy ra $\widehat{A} = 90^0$   (đpcm).
b) Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành: $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$.
Xét tích vô hướng :
          $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) (\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})$
$\Rightarrow    \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD}^2 - \overrightarrow{AB}^2$                                       (*)
Nếu $AC \bot BD \Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}= \overrightarrow{0} $ thì từ (*) suy ra $AB = AD$.
Hình bình hành $ABCD$ có hai cạnh liên tiếp bằng nhau nên nó là hình thoi.
Ngược lại, nếu hình bình hành $ABCD$ là hình thoi thì $AB = AD$ và từ (*) suy ra $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD} = 0 \Leftrightarrow AC \bot BD$ tức là nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.

Bài 105943

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105943

1 Đáp án

Liên quan

ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO SUY LUẬN TOÁN HỌC

MỆNH ĐỀ VÀ MỆNH ĐỀ CHỨA BIẾN

Lý thuyết liên quan