Bài 106082

Question

Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn

$Oxyz$ , cho điểm

$A(4;0;0)$ , điểm

$M(x_0;y_0;0)$ với

$x_0; y_0 >0$ sao cho

$OB = 8$ và góc

$AOB = 60^0.$

$a)$ Xác định điểm

$C$ trên

$Oz$ để thể tích

$OABC = 8.$

$b)$ Gọi

$G$ là trọng tâm tam giác

$OAB$ và

$M$ trên

$AC$ có

$AM = x$ . Tìm

$x$ để

$OM$ vuông góc với

$GM.$

score 0 · Answer 1

$a.$ Xác định điểm

$C$ trên

$Oz$ để thể tích

$OABC=8$
Theo giả thiết ta có

$OA=4,OB=8,$ góc

$AOB=60^0$

$\Rightarrow \Delta AOB$ vuông tại

$A\Rightarrow BA\bot Ox\Rightarrow x_0=x_A=4$ . Ta được

$B(4,y_0,0)$
Vì

$OB=8\Rightarrow 4^2+y_0^2=64\Rightarrow y_0=4\sqrt{3}\Rightarrow AB=4\sqrt{3}$

$V_{OABC}=\frac{1}{3} OC.S_{\Delta AOB}=\frac{1}{3} OC.8\sqrt{3} =8\Leftrightarrow OC=\sqrt{3}$
Do đó

$S_{\Delta ABO}=\frac{1}{2} OA.OB=\frac{1}{2} .4.4\sqrt{3} =8\sqrt{3}$
Ta được

$C(0,0,\sqrt{3} )$ hoặc

$C(0,0,-\sqrt{3} )$
b.Ta có trọng tâm của

$\Delta OAB$ là

$G(\frac{8}{3},\frac{4\sqrt{3} }{3} ,0 )$
Giả sử

$C(0,0,\sqrt{3} );\overrightarrow {AC}=(-4,0,\sqrt{3} )$

$\Rightarrow$ Phương trình đường thẳng

$AC$ là

$\begin{cases}x=4-4t \\ y=0 \\z=\sqrt{3}t \end{cases}$
Ta được

$M(4-4t,0,\sqrt{3}t )\Rightarrow \overrightarrow {OM} (4-4t;0;\sqrt{3}t )$

$\overrightarrow {GM} =(\frac{4}{3} -4t;-\frac{4\sqrt{3} }{3} ;\sqrt{3}t )$
Thế thì

$OM\bot GM\Leftrightarrow \overrightarrow {OM} .\overrightarrow {GM} =0$

$\Leftrightarrow (4-4t).(\frac{4}{3}-4t )+3t^2=0\Leftrightarrow 57t^2-64t+16=0$

$\Leftrightarrow t=\frac{32\pm 4\sqrt{7}}{57}\Leftrightarrow M(4-\frac{16}{57}(8\pm\sqrt{7}), 0, \frac{4\sqrt{3}}{57}(8\pm\sqrt{7}))$

Trường hợp còn lại ứng với

$C(0,0,-\sqrt{3} )$ cũng tương tự

$\Leftrightarrow M(4-\frac{16}{57}(8\pm\sqrt{7}), 0, \frac{-4\sqrt{3}}{57}(8\pm\sqrt{7})$

Bài 106082

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106082

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan