Bài 106698

Question

Cho hai điểm $A(1,2,3)$ và $B(4,4,5)$ trong không gian với hệ tọa độ vuông góc $Oxyz.$
$1.$ Viết pt đường thẳng $AB$. Tìm giao điểm của $P$ của nó với mặt phẳng $Oxy$. Chứng tỏ rằng với mọi điểm $Q$ thuộc mặt phẳng $xOy$, biểu thức $|QA – QB|$ có giá trị lớn nhất khi $Q$ trùng với $P.$
$2.$ Tìm điểm $M$ trên mặt phẳng $Oxy$ sao cho tổng các độ dài $MA + MB$ nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

$1.$ $\overrightarrow {AB} = (3;2;2)$. Đường thẳng $AB$ qua $(1,2,3)$ và với VTCP $\overrightarrow {AB} $ nên $AB$ có pt tham số:
$\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 3t\\
y = 2 + 2t\\
z = 3 + 2t
\end{array} \right.$
Mặt phẳng $Oxy$ có phương trình $z = 0$. Thế vào pt của $AB$ ta được $t = - \frac{3}{2}$
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = - \frac{7}{2}\\
y = - 1\\
z = 0
\end{array} \right.$
Vậy $AB$ cắt $Oxy $ tại $P(\frac{{ - 7}}{2}; - 1;0)$
$\begin{array}{l}
\overrightarrow {AP} = \left( { - \frac{9}{2}; - 3; - 3} \right)\,\,\,\,\,\,;\,\,\,\overrightarrow {BP} = \left( { - \frac{{15}}{2}; - 5; - 5} \right)\\
\Rightarrow \overrightarrow {BP} = \frac{5}{3}\overrightarrow {AP}
\end{array}$
$\Rightarrow A, B$ ở về một phía với $P.$
$\forall Q \in (xOy),$ trong $\Delta $QAB ta luôn có |QA – QB| $ \le AB$. Dấu bằng xảy ra khi $Q$ trùng $P$. Vì vậy biểu thức $|QA – QB|$ có giá trị lớn nhất khi $Q$ trùng $P.$
$2.$ Gọi $A’$ là điểm đối xứng của $A$ qua $(xOy)$ thì $\forall M \in xOy$ ta luôn có : $MA = MA' \Rightarrow MA + MB = MA' + MB \ge A'B$
Dấu bằng xảy ra khi : $M, A’, B$ thẳng hàng và $M$ nằm trong đoạn $A’B.$
V ậy tổng $MA + MB$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $M$ là giao điểm của đoạn thẳng $A’B$ với $xOy.$

Bài 106698

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106698

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan