Phương trình được viết lại dưới dạng:
$\frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}}=m (1)$
Số nghiệm của $(1)$ là số giao điểm của đồ thị hàm số $(C): y= \frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}} $ với đường thằng $(d): y=m$.
Xét hàm số $y= \frac{x+3}{\sqrt{x^2+1}} $.
-Miền xác định $D=R$.
-Đạo hàm:
$y^'= \frac{1-3x}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} $,
$y^'=0\Leftrightarrow 1-3x=0\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$ .
-Giới hạn:
$ \mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty}y=-1$ và $ \mathop {\lim }\limits_{x \to -\infty}y=1$.
-Bảng biến thiên:
Biện luận:
-Với $m\leq 1$ hoặc $m>\sqrt{10}$: phương trình vô nghiệm.
-Với $-1\leq m\leq 1$ hoặc $m=\sqrt{10}$: phương trình có nghiệm duy nhất
.-Với $1<m< \sqrt{10}$: phương trình có hai nghiệm phân biệt.