Gọi $mp(Q)$ là mặt phẳng chứa $d$ vuông góc với $mp(P)$.
Đường thẳng $d'$ là hình chiếu của $d$ lên $mp(P)$ chính là giao tuyến của hai mặt phẳng $(P), (Q)$. Mặt phẳng $(Q) $ chứa $d$ thuộc chùm mặt phẳng có dạng:
$m(x-y+z-5)+n(2x+3y+z-4)=0 (m^2+n^2\neq 0)$
$\Leftrightarrow (m+2n)x+(3n-m)y+(m+n)z-5m-4n=0$
Ta có: $\overrightarrow{n}_{(Q)}=(m+2n;-m+3n;m+n); \overrightarrow{n}_{(P)}=(3;-2;-1) $
Vì $(Q)\bot (P)\Rightarrow \overrightarrow{n}_{(Q)}\bot \overrightarrow{n}_{(P)} \Rightarrow \overrightarrow{n}_{(Q)}. \overrightarrow{n}_{(P)}=0$
$\Rightarrow 3m+6n+2m-6n-m-n=0\Rightarrow 4m=n$
Ta có: Phương trình $(Q):9x+11y+5z-21=0$
Vì $d'=(P)\cap (Q)$ nên ta có:
Phương trình $d':\left\{ \begin{array}{l} 3x-2y-z+15=0\\ 9x+11y+5z-21=0 \end{array} \right. $