|
|
Biến đổi tương đương hệ về dạng:
$\begin{cases}a^{x+y}=a^{b^2-b+1} \\ a^x+a^y=\frac{1}{2} \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases}a^x.a^y=a^{b^2-b+1} \\ a^x+a^y=\frac{1}{2} \end{cases}$,
Khi đó, $a^x, a^y$ là nghiệm dương của phương trình:
$t^2-\frac{1}{2} t+a^{b^2-b+1}=0 (1)$
Hệ có nghiệm $\forall b\in [0,1]$
$\Leftrightarrow (1)$ có hai nghiệm dương với mọi $b\in [0,1]$
$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta\geq 0 \\ S>0 \\P>0 \end{cases}, \forall b\in [0,1]\Leftrightarrow \begin{cases}\frac{1}{4}-4a^{b^2-b+1} \geq 0 \\ \frac{1}{2} >0 \\ a^{b^2-b+1}>0 \end{cases}, \forall b\in [0,1]$.
$\Leftrightarrow a^{b^2-b+1}\leq \frac{1}{16} , \forall b\in [0,1] (2)$.
Hệ có nghiệm với mọi $b\in [0,1]$.
$\Rightarrow $ có nghiệm với $b=1\Rightarrow 0<a<\frac{1}{16} (*)$
đó là điều kiện cần của $a$.
Với điều kiện trên, lấy logarit cơ số $a$ hai vế của $(2)$, ta được:
$b^2-b+(1+\log_a16)\geq 0, \forall b\in [0,1] (3)$
Xét hàm số $y=b^2-b+(1+\log_a16)$
-Miền xác định $D=[0,1]$
-Đạo hàm: $y^'=2b-1, y^'=0 \Leftrightarrow 2b-1=0 \Leftrightarrow b=\frac{1}{2}$.
-bảng biến thiên:
Vậy $(3)$ đúng với mọi $b\in [0,1]\Leftrightarrow y_{\min}\geq 0 \Leftrightarrow \frac{3}{4}+\log_a16\geq 0 \Leftrightarrow a \leq \frac{1}{32\sqrt[3]{2}}$.
Kết hợp với điều kiện $(*)$, ta được $0<a<\frac{1}{32\sqrt[3]{2}}$.
|