|
|
Biến đổi tương đương hệ về dạng:
{ax+y=ab2−b+1ax+ay=12⇔{ax.ay=ab2−b+1ax+ay=12,
Khi đó, ax,ay là nghiệm dương của phương trình:
t2−12t+ab2−b+1=0(1)
Hệ có nghiệm ∀b∈[0,1]
⇔(1) có hai nghiệm dương với mọi b∈[0,1]
⇔{Δ≥0S>0P>0,∀b∈[0,1]⇔{14−4ab2−b+1≥012>0ab2−b+1>0,∀b∈[0,1].
⇔ab2−b+1≤116,∀b∈[0,1](2).
Hệ có nghiệm với mọi b∈[0,1].
⇒ có nghiệm với b=1⇒0<a<116(∗)
đó là điều kiện cần của a.
Với điều kiện trên, lấy logarit cơ số a hai vế của (2), ta được:
b2−b+(1+loga16)≥0,∀b∈[0,1](3)
Xét hàm số y=b2−b+(1+loga16)
-Miền xác định D=[0,1]
-Đạo hàm: \displaystyle{y^'=2b-1, y^'=0 \Leftrightarrow 2b-1=0 \Leftrightarrow b=\frac{1}{2}}.
-bảng biến thiên:
Vậy (3) đúng với mọi b∈[0,1]⇔ymin≥0⇔34+loga16≥0⇔a≤1323√2.
Kết hợp với điều kiện (∗), ta được 0<a<1323√2.
|