Trước tiên,chúng ta đi chứng minh mệnh đề:
"Nếu K là trọng tâm △ABC thì →KA+→KB+→KC=→0 "
Thật vậy,gọi A1 là trung điểm của BC,do đó:
→KB+→KC=2→KA1(1)
Mặt khác,ta có:
{KA=2KA1→KA↑↓→KA1⇔2→KA1=−→KA (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
→KB+→KC=−→KA
⇔→KA+→KB+→KC=→0
a.Với điểm G thỏa mãn điều kiện đầu bài,ta có:
→0=→GA+→GB+→GC
=(→GK+→KA)+(→GK+→KB)+(→GK+→KC)
=3→GK+→KA+→KB+→KC=3→GK
⇔→GK=→0
⇔G≡K⇔G là trọng tâm △ABC.
b.Với điểm G thỏa mãn điều kiện đầu bài,ta có:
3→MG=→MA+→MB+→MC=→MG+→GA+→MG+→GB+→MG+→GC
=3→MG+(→GA+→GB+→GC)
⇔→GA+→GB+→GC=→0
⇔G là trọng tâm △ABC.(theo câu a)