Trước tiên,chúng ta đi chứng minh mệnh đề:
"Nếu $K$ là trọng tâm $\triangle ABC$ thì $\overrightarrow {KA}+\overrightarrow {KB}+\overrightarrow {KC}=\overrightarrow {0}$ "
Thật vậy,gọi $A_{1}$ là trung điểm của $BC$,do đó:
$\overrightarrow {KB}+\overrightarrow {KC}=2\overrightarrow {KA_{1}} (1)$
Mặt khác,ta có:
$\begin{cases} KA=2KA_{1}\\ \overrightarrow {KA}\uparrow \downarrow\overrightarrow {KA_{1}}\end{cases}\Leftrightarrow 2\overrightarrow {KA_{1}}=-\overrightarrow {KA}$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
$\overrightarrow {KB}+\overrightarrow {KC}=-\overrightarrow {KA}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {KA}+\overrightarrow {KB}+\overrightarrow {KC}=\overrightarrow {0}$
a.Với điểm $G$ thỏa mãn điều kiện đầu bài,ta có:
$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}$
$=(\overrightarrow {GK}+\overrightarrow {KA})+(\overrightarrow {GK}+\overrightarrow {KB})+(\overrightarrow {GK}+\overrightarrow {KC})$
$=3\overrightarrow {GK}+\overrightarrow {KA}+\overrightarrow {KB}+\overrightarrow {KC}=3\overrightarrow {GK}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {GK}=\overrightarrow {0} $
$\Leftrightarrow G\equiv K \Leftrightarrow G$ là trọng tâm $\triangle ABC$.
b.Với điểm $G$ thỏa mãn điều kiện đầu bài,ta có:
$3\overrightarrow {MG}=\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB}+\overrightarrow {MC}=\overrightarrow {MG}+\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {MG}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {MG}+\overrightarrow {GC}$
$=3\overrightarrow {MG}+(\overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC})$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {GA}+\overrightarrow {GB}+\overrightarrow {GC}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow G$ là trọng tâm $\triangle ABC$.(theo câu a)