Từ giả thiết ta được:
$\begin{cases} 2CI=3BI \\\overrightarrow {IC}\uparrow \downarrow\overrightarrow {IB}\end{cases}\Leftrightarrow 2\overrightarrow {IC}=-3\overrightarrow {IB}$ (1)
$\begin{cases} 5JB=2JC \\\overrightarrow {JB}\uparrow \uparrow\overrightarrow {JC}\end{cases}\Leftrightarrow 5\overrightarrow {JB}=2\overrightarrow {JC}$ (2)
a.Từ (1) ta có:
$2(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AI})=-3(\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AI})$
$\Leftrightarrow 5\overrightarrow {AI}=3\overrightarrow {AB}+2\overrightarrow {AC}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AI}=\frac{3}{5}\overrightarrow {AB}+\frac{2}{5}\overrightarrow {AC}$ (3)
b.Từ (2) ta có:
$5(\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AJ})=2(\overrightarrow {AC}-\overrightarrow {AJ})$
$\Leftrightarrow 3\overrightarrow {AJ}=5\overrightarrow {AB}-2\overrightarrow {AC}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AJ}=\frac{5}{3}\overrightarrow {AB}-\frac{2}{3}\overrightarrow {AC}$ (4)
c.Gọi $M$ là trung điểm $BC$,ta có:
$\overrightarrow {AG}=\frac{2}{3}\overrightarrow {AM}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})=\frac{1}{3}(\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AC})$ (5)
Mặt khác từ hệ tạo bởi (3) và (4), ta nhận được:
$\overrightarrow {AB}=\frac{5}{8}\overrightarrow {AI}+\frac{3}{8}\overrightarrow {AJ}$(6)
và: $\overrightarrow {AC}=\frac{25}{16}\overrightarrow {AI}-\frac{9}{16}\overrightarrow {AJ}$ (7)
Thay (6) và (7) vào (5) ta nhận được: $\overrightarrow {AG}=\frac{35}{48}\overrightarrow {AI}-\frac{1}{16}\overrightarrow {AJ}$