Ta có:
Dựng hình bình hành $AB_{2}IC_{2}$ có $AB_{2}//CC_{1}$ và $AC_{2}//BB_{1}$,ta được:
$\overrightarrow {IA}=\overrightarrow {IB_{2}}+\overrightarrow {IC_{2}}$ (1)
$\begin{cases} \frac{IB_{2}}{IB}=\frac{C_{1}A}{C_{1}B}=\frac{b}{a}\\ \overrightarrow {IB_{2}}\uparrow \downarrow \overrightarrow {IB}\end{cases}\overrightarrow {IB_{2}}=-\frac{b}{a} \overrightarrow {IB}$ (2)
$\begin{cases} \frac{IC_{2}}{IC}=\frac{B_{1}A}{B_{1}C}=\frac{c}{a}\\ \overrightarrow {IC_{2}}\uparrow \downarrow \overrightarrow {IC}\end{cases}\overrightarrow {IC_{2}}=-\frac{c}{a} \overrightarrow {IC}$ (3)
Thay (2),(3) vào (1),ta được:
$\overrightarrow {IA}=-\frac{b}{a} \overrightarrow {IB}-\frac{c}{a} \overrightarrow {IC}$
$\Leftrightarrow a.\overrightarrow {IA}+b.\overrightarrow {IB}+c.\overrightarrow {IC}=\overrightarrow {0}$,đpcm