a.Dựa theo quy tắc hình bình hành,ta lần lượt có:
*Với điểm $M$ thỏa mãn:
$\overrightarrow {OM}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}\Rightarrow M$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AOBM$
$\Rightarrow CM$ là đường kính của $(O)$,vì $\triangle ABC$ đều.
*Với điểm $N$ thỏa mãn:
$\overrightarrow {ON}=\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}\Rightarrow N$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $BOCN$
$\Rightarrow AN$ là đường kính của $(O)$,vì $\triangle ABC$ đều.
*Với điểm $P$ thỏa mãn:
$\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OA}\Rightarrow P$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành $AOCP$
$\Rightarrow BP$ là đường kính của $(O)$,vì $\triangle ABC$ đều.
Vậy,các điểm $M,N,P$ nằm trên đường tròn $(O)$ sao cho $CM,AN,BP$ là các đường kính của đường tròn $(O)$
b.Dựa vào kết quả câu a) và $\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {MO}$,ta có ngay:
$\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}=\overrightarrow {OM}+\overrightarrow {MO}=\overrightarrow {MO}+\overrightarrow {OM}=\overrightarrow {MM}=\overrightarrow {0}$
$\Rightarrow$ (ĐPCM)