Ta có: $\alpha \overrightarrow {IA}+\beta\overrightarrow {IB}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow \alpha \overrightarrow {IA}+\beta(\overrightarrow {IA}+\overrightarrow {AB})=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow (\alpha +\beta)\overrightarrow {IA}+\overrightarrow {AB}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow (\alpha +\beta)\overrightarrow {AI}=\beta\overrightarrow {AB}$
$\Leftrightarrow \overrightarrow {AI}=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow {AB}$
Vì $A,B$ cố định nên vecto $\frac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow {AB}$ không đổi,do đó tồn tại duy nhất điểm $I$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.
b.Ta có:
$\alpha \overrightarrow {MA}+\beta\overrightarrow {MB}=\alpha(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IA})+\beta(\overrightarrow {MI}+\overrightarrow {IB})$
$=(\alpha+\beta)\overrightarrow {MI}+(\alpha\overrightarrow {IA}+\beta\overrightarrow {IB})=(\alpha+\beta)\overrightarrow {MI}$,đpcm.