Bài 107682

Question

Trên mặt phẳng

$Oxy$ cho đường elip có phương trình:

$4x^2+9y^2=36$

$a.$ Xác định độ dài hai trục, tiêu cự, tâm sai, tọa độ tiêu điểm, các đỉnh của elip

$b.$ Xác định tọa độ giao của đường thẳng

$x-y+2=0$ với elip

$c.$ Với giá trị nào của

$a$ thì đường thẳng

$y=ax+3$ có điểm chung với elip

score 0 · Answer 1

$a.$ Phương trình chính tắc của elip đã cho

$(E) : \frac{x^2}{9} +\frac{y^2}{4} =1$
- Độ dài trục lớn

$2a=6$ , Độ dài trục nhỏ

$2b=4$
-

$c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{9-4}=\sqrt{5}$ , tiêu cự

$2c=2\sqrt{5}$
- Tâm sai

$e=\frac{c}{a} =\frac{\sqrt{5} }{3}$
- Tọa độ tiêu điểm

$F_1(-\sqrt{5};0 ),F_2(\sqrt{5};0 )$
- Các đỉnh

$A_1(-3;0);A_2(3;0);B_1(0;-2),B_2(0;2)$

$b.$ Tọa độ giao điểm của đường thẳng

$x-y+2=0$ và elip là nghiệm của hệ phương trình :

$\begin{cases}4x^2+9y^2=36 \\ y=x+2 \end{cases} \Rightarrow M_1(0;2)\equiv B_2,M_2=(-\frac{36}{13};-\frac{10}{13} )$

$c,$ Elip và đường thẳng

$y=ax+3$ có điểm chung khi hệ phương trình sau có nghiệm :

$\begin{cases}4x^2+9y^2=36 \\ y=ax+3 \end{cases}$
Hay phương trình

$(4+9a^2)x^2+54ax+45=0$ có nghiệm hay

$\Delta '=324a^2-180\geq 0\Rightarrow a^2\geq \frac{5}{9} \Rightarrow a\leq -\frac{\sqrt{5} }{3}$ hoặc

$a\geq \frac{\sqrt{5} }{3}$

1 Đáp án