Bài 107906

Question

Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol $(P)$ và đường thẳng $d:$
$(P) : y^2=2x; d: 2x-2my-1=0$
$a.$ Xác định tiêu điểm $F$ và viết phương trình đường chuẩn của parabol.
$b.$ Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, đường thẳng $d$ luôn luôn đi qua tiêu điểm $F$ của $(P)$ và cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $M,N$
$c.$ Tính quỹ tích trung điểm $I$ của đoạn $MN$ khi $m$ thay đổi

score 0 · Answer 1

$a. (P) : y^2=2x=2px\Rightarrow p=1$
Tiêu điểm của $(P)$ là : $F(\frac{1}{2};o )$
Đường chuẩn $x=-\frac{P}{2} =-\frac{1}{2} $
$b.$ Với $x=\frac{1}{2} ,y=0$ thỏa mãn phương trình $d: 2x-2my-1=0$ Với mọi $m$. Vậy $d$ luôn đi qua trên tiêu điểm $F(\frac{1}{2};0 )$
Tọa độ giao điểm của $(P)$ là $d$ là nghiệm của hệ phương trình :
$\begin{cases}y^2=2x \\ 2x-2my-1=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x=\frac{1}{2}(2my+1)       (1) \\ y^2-2my-1=0        (2) \end{cases} $
Phương trình $(2)$ có $\Delta '=m^2+1>0$ nên $d$ luôn cắt $P$ tại hai điểm phân biệt $M,N$
$c.   y_M,y_N$ là hai nghiệm của phương trình $y^2-2my-1=0$
Vì $I\in d$ nên tọa độ trung điểm $I$ là $\begin{cases}x=my+\frac{1}{2}       (3) \\ y=\frac{y_M+y_N}{2}=\frac{2m}{2}=m      (4)   \end{cases} $
thế $m$ ở $(4)$ vào $(3)$ ta được : $x=y^2+\frac{1}{2} $
Vậy quỹ tích của $I$ là đường parabol $x=y^2+\frac{1}{2} $, tiêu điểm $F(\frac{1}{2};0 )$

Bài 107906

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107906

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan