|
|
Từ phương trình thứ nhất của hệ,ta suy ra điểm $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $ABCD$ $(1)$
Gọi $M,N,P,Q$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB,BC,CD,DA$.
Từ giả thiết:
$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {OM}+2\overrightarrow {OP}\Leftrightarrow \overrightarrow {OM}+\overrightarrow {OP}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow M,P,O$ thẳng hàng và $O$ là trung điểm $MP$.$(2)$
$\overrightarrow {0}=\overrightarrow {OA}+\overrightarrow {OB}+\overrightarrow {OC}+\overrightarrow {OD}=2\overrightarrow {ON}+2\overrightarrow {OQ}=\overrightarrow {ON}+\overrightarrow {OQ}=\overrightarrow {0}$
$\Leftrightarrow N,Q,O$ thẳng hàng và $O$ là trung điểm $NQ$. $(3)$
Từ $(2)$ và$ (3)$ suy ra $MNPQ$ là hình bình hành,suy ra:
*$A,C,O$ thẳng hàng và $O$ là trung điểm $AC$.
*$B,D,O$ thẳng hàng và $O$ là trung điểm $BD$.
Do đó $ABCD$ là hình bình hành. (4)
Từ$ (1)$ và $(4)$ suy ra $ABCD$ là hình chữ nhật.(đpcm)
|