Bài 108591

Question

Trong mặt phẳng $(P)$ cho hình vuông $ABCD$ cạnh bằng $a$. Đoạn $SA$ cố định vuông góc với $(P)$ tại $A; M,N$ là hai điểm tương ứng di động trên các cạnh $BC,CD$.
Đặt $BM=u; DN=v$. Chứng minh rằng $a(u+v)=a^2+u^2$ là điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng $(SAM);(SMN)$ vuông góc với nhau

score 0 · Answer 1

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Giả sử $(SAM) \bot (SMN) (1)$
Vì $SA \bot (P)\Rightarrow (SAM) \bot (P) (2)$
Do $(SNM) \cap (P)=MN$, nên từ $(1),(2)$ suy ra $MN \bot (SAM)\Rightarrow MN \bot MA$
Đảo lại giả sử $MN \bot MA (3)$
Ta có $MN \bot SA $( Do $SA \bot (P)$ ).
$\Rightarrow MN \bot (SAM) \Rightarrow (SMN) \bot (SAM)$.
Vậy $MN \bot MA$ là điều kiện cần và đủ để $(SAM) \bot (SMN)$
Ta có: $MN \ bot MA \Leftrightarrow AN^2=AM^2+MN^2$
$\Leftrightarrow a^2+v^2=a^2+u^2+(a-u)^2+(a-v)^2\Leftrightarrow a(u+v)=a^2+u^2 \Rightarrow $ đpcm.

Bài 108591

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108591

1 Đáp án

Liên quan

Chứng minh 2 mặt phẳng vuông góc

Lý thuyết liên quan