a.Giả sử $E(x,y)$, khi đó:
$\overrightarrow {AE}(x-2,y-1),\overrightarrow {BC}(-3,4)$
Từ đó: $\overrightarrow {AE}=2.\overrightarrow {BC}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} x-2=-2.(-3) \\ y-1=-2.4 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x=8 \\ y=-7\end{cases} \Leftrightarrow E(8,-7)$
Vậy điểm $E(8,-7)$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.
b.Nhận xét:
$AC=\sqrt{2^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{5}=AF$
$\Rightarrow F$ là trung điểm của $AC \Rightarrow F(1,\frac{3}{2})$
Vậy điểm $F(1,\frac{3}{2})$ thỏa mãn điều kiện đầu bài.
c.Giả sử $M(x,y)$,khi đó:
$\overrightarrow {MA}(2-x,1-y),\overrightarrow {MB}(3-x,-2-y),\overrightarrow {MC}(-x,2-y)$
$\Rightarrow 2(\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {MB})-3.\overrightarrow {MC}=(10-3x,-4-3y)$
và $\overrightarrow {MB}-\overrightarrow {MC}=(3,-4)$
Khi đó:biểu thức tương đương:
$(10-3x)^{2}+(4-3y)^{2}=3^{2}+(-4)^{2}$
$\Leftrightarrow (x-\frac{10}{3})^{2}+(y+\frac{4}{3})^{2}=\frac{25}{9}$
$\Leftrightarrow M$ thuộc đường tròn tâm $I(\frac{10}{3},-\frac{4}{3})$,bán kính $R=\frac{5}{3}$